Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Giải tích ngẫu nhiên và ứng dụng trong thị trường tài chính

Luận văn này gồm 3 chương: Chương I - Quá trình ngẫu nhiên, Chương II - Tích phân ngẫu nhiên và Phương trình vi phân ngẫu nhiên, Chương III - Vài ứng dụng trong thị trường tài chính.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Giải tích ngẫu nhiên và ứng dụng trong thị trường tài chính ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ------------------ VŨ ĐỨC THẮNGGIẢI TÍCH NGẪU NHIÊN VÀ ỨNG DỤNG TRONG THỊ TRƯỜNG TÀI CHÍNH LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC Hà Nội, 2014 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ------------------ VŨ ĐỨC THẮNGGIẢI TÍCH NGẪU NHIÊN VÀ ỨNG DỤNG TRONG THỊ TRƯỜNG TÀI CHÍNHChuyên ngành: LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN HỌCMã số: 60.46.01.06 LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS. TS. PHAN VIẾT THƯ Hà Nội, 2014Lời cảm ơn Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới PGS.TS. PhanViết Thư, người thầy đã tận tình giúp đỡ, chỉ bảo, định hướng nghiên cứu chotôi để hoàn thành luận văn này. Qua đây, tôi cũng xin chân thành cám ơn sựgiúp đỡ của các thầy giáo, cô giáo trong Khoa Toán - Cơ - Tin học, Bộ môn Xácsuất thống kê trường Đại học Khoa học tự nhiên - Đại học quốc gia Hà Nội,những người đã giúp đỡ, giảng dạy và truyền đạt kiến thức cho tác giả trongsuốt quá trình học tập và nghiên cứu tại trường. Mặc dù đã có nhiều cố gắng, do hạn chế về thời gian thực hiện nên luận vănkhông thể tránh khỏi những thiếu sót. Tác giả kính mong nhận được ý kiến đónggóp quý báu của quý thầy cô và các bạn để luận văn được hoàn thiện hơn. Xin trân trọng cảm ơn! Hà Nội,tháng 11 năm 2014 Vũ Đức Thắng 1Mục lụcBẢNG KÝ HIỆU 5MỞ ĐẦU 61 QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN 8 1.1 Những khái niệm chung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.1.1 Quá trình ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.1.2 Quá trình ngẫu nhiên thích nghi với một bộ lọc . . . . . . 9 1.1.3 Thời điểm Markov và thời điểm dừng . . . . . . . . . . . . 10 1.1.4 Kỳ vọng có điều kiện lấy đối với một σ -trường . . . . . . . 10 1.1.5 Xác suất có điều kiện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.1.6 Martingale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.2 Quá trình Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.2.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.2.2 Định lý . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.3 Quá trình Wiener hay chuyển động Brown . . . . . . . . . . . . . . 18 1.3.1 Các định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.3.2 Vài tính chất quan trọng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.3.3 Các martingale tạo thành từ chuyển động Brown . . . . . 19 1.3.4 Đặc trưng Lévy của chuyển động Brown . . . . . . . . . . . 20 1.4 Quá trình Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.4.1 Quá trình đếm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.4.2 Quá trình Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.4.3 Đặc trưng Watanabe của quá trình Poisson . . . . . . . . . 21 1.5 Quá trình Markov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.5.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.5.2 Phương trình Chapman-Kolmogorov . . . . . . . . . . . . . 22 2MỤC LỤC 3 1.5.3 Chú ý . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222 TÍCH PHÂN NGẪU NHIÊN VÀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN NGẪU NHIÊN 23 Phần I. TÍCH PHÂN NGẪU NHIÊN . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.1 Tích phân Ito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.1.1 Mục đích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.1.2 Định nghĩa tích phân Itô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.1.3 Vi phân ngẫu nhiên Itô và C ...