Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Ma trận và hệ truy hồi

Các bài toán liên quan đến dãy số rất phong phú và đa dạng, thường gặp trong các kì thi học sinh giỏi toán cấp quốc gia, khu vực, quốc tế và các kì Olympic. Trong khuôn khổ luận văn này, tác giả chỉ đề cập đến một phần nhỏ của lý thuyết dãy số là các dãy và hệ các dãy dạng truy hồi tuyến tính. Mời các bạn cùng tham khảo.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Ma trận và hệ truy hồi ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ———————o0o——————– NGÔ THỊ HƯỜNGMA TRẬN VÀ HỆ TRUY HỒI LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌCChuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số: 60 46 01 13 Người hướng dẫn khoa học PGS.TS ĐÀM VĂN NHỈ HÀ NỘI - 2014Mục lục Lời nói đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 Một số kiến thức về ma trận 5 1.1 Khái niệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2 Các phép toán ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2.1 Phép cộng hai ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2.2 Phép nhân các phần tử trường K với ma trận . . . . . 6 1.2.3 Phép nhân hai ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.3 Vành ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.4 Ma trận nghịch đảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.5 Phương trình đặc trưng của ma trận . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.5.1 Giá trị riêng và vectơ riêng của phép biến đổi tuyến tính 10 1.5.2 Đa thức đặc trưng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.6 Chéo hóa ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.7 Giá trị riêng của hàm ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 Ma trận và hệ truy hồi 20 2.1 Xét dãy số qua phép nhân ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.2 Ứng dụng định lí Cayley - Hamilton vào dãy số . . . . . . . . . 27 2.3 Xét dãy số qua chéo hóa ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . 313 Xây dựng bài toán mới cho dãy số 46 3.1 Đặt vấn đề . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 3.2 Xây dựng bài toán mới về dãy số . . . . . . . . . . . . . . . . . 474 Một số phương pháp khác giải hệ truy hồi 53 4.1 Hệ truy hồi qua cấp số nhân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 4.1.1 Phương pháp cấp số nhân để xét dãy số . . . . . . . . . 53 4.1.2 Chuyển dãy truy hồi phức tạp về dãy đơn giản . . . . . 62 4.2 Xét dãy số qua đồng cấu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 1Ma trận và hệ truy hồi LỜI NÓI ĐẦU Các vấn đề liên quan đến dãy số là một bộ phận quan trọng của giải tíchvà đại số, đặc biệt là một phần quan trọng không thể thiếu trong toán họcphổ thông. Nhiều dạng toán của hình học, lượng giác và nhiều môn học kháccũng đòi hỏi giải quyết các vấn đề về dãy số...Các học sinh và sinh viên cũngthường xuyên phải đối mặt với nhiều bài toán khó liên quan đến dãy số. Các bài toán liên quan đến dãy số rất phong phú và đa dạng, thườnggặp trong các kì thi học sinh giỏi toán cấp quốc gia, khu vực, quốc tế và cáckì Olympic. Trong khuôn khổ luận văn này, tác giả chỉ đề cập đến một phầnnhỏ của lý thuyết dãy số là các dãy và hệ các dãy dạng truy hồi tuyến tính.Một hệ truy hồi dù tuyến tính, nhưng để giải được nó bằng các bước biến đổisơ cấp là rất phức tạp, thậm chí đưa bài toán về việc giải một phương trìnhbậc cao không đơn giản. Bằng việc biểu diễn một hệ truy hồi tuyến tính dướidạng phương trình ma trận, ta đã làm đơn giản hóa đáng kể bài toán, đưađến việc tính toán trên các ma trận. Luận văn này tác giả cũng nhằm đáp ứng nhu cầu tự bồi dưỡng, họccách lý luận, cách mở rộng tự nhiên của một vấn đề từ đơn giản đến phứctạp, để từ đó hiểu và ứng dụng được một vấn đề sâu sắc, mạch lạc và có trìnhtự hơn. Bố cục của luận văn gồm bốn chương: - Chương 1: Một số kiến thức về ma trận. Nội dung của chương này là nhắc lại một số kiến thức về ma trận: Khái niệm, các phép toán ma trận, vành ma trận, ma trận nghịch đảo, giá trị riêng và vectơ riêng của ma trận; hàm ma trận và giá trị riêng của hàm ma trận. - Chương 2: Ma trận và hệ truy hồi. Trong chương này, luận văn đề cập đến việc biểu diễn một hệ truy hồi tuyến tính dưới dạng ma trận, và sử dụng các ph ...