Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Phép biến đổi laplace và ứng dụng trong giải phương trình vi phân và tích phân

Luận văn trình bày những kiến thức cô đọng nhất của phép biến đổi Laplace và ứng dụng trong giải phương trình vi phân và tích phân. Luận văn được chia thành 3 chương: Chương 1 - Kiến thức chuẩn bị, Chương 2 - Các tính chất của phép biến đổi Laplace, Chương 3 - Ứng dụng phép biến đổi Laplace trong giải phương trình vi phân và tích phân.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Phép biến đổi laplace và ứng dụng trong giải phương trình vi phân và tích phânMục lục Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i Lời mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ii1 Kiến thức chuẩn bị 1 1.1 Định nghĩa phép biến đổi Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 Sự hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.3 Điều kiện hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.4 Phép biến đổi Laplace ngược . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.4.1 Công thức Mellin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.4.2 Điều kiện đủ để tồn tại gốc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.4.3 Tính tích phân Mellin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.4.4 Một số ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 Các tính chất của phép biến đổi Laplace 15 2.1 Các tính chất cơ bản của phép biến đổi Laplace . . . . . . . . . . . . . 15 2.1.1 Tính chất tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.1.2 Tính chất đồng dạng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.1.3 Các định lý dịch chuyển . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.1.4 Hàm Gamma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.1.5 Ảnh của hàm tuần hoàn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.2 Đạo hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.3 Tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.3.1 Định lý về tích phân gốc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.3.2 Định lý về tích phân ảnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.4 Tích chập các hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.5 Tích phân Duhamel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363 Ứng dụng phép biến đổi Laplace trong giải phương trình vi phân và tích phân 38 13.1 Phương trình vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 3.1.1 Phương pháp chung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 3.1.2 Phương trình vi phân tuyến tính cấp n với hệ số hằng . . . . . 39 3.1.3 Phương trình vi phân với hệ số là đa thức . . . . . . . . . . . . 42 3.1.4 Giải phương trình vi phân tuyến tính bằng phương pháp tích phân Duhamel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 3.1.5 Hệ phương trình vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453.2 Phương trình tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE VÀ ỨNG DỤNGTRONG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN VÀ TÍCH PHÂN Nguyễn Thị Bích Hạnh Hà Nội, 2010 LỜI CẢM ƠN Trong suốt thời gian làm luận văn, tôi đã nhận được sự hướng dẫn rất tận tình vàchu đáo của PGS.TS Nguyễn Minh Tuấn. Thầy đã cho tôi những lời khuyên quýbáu không chỉ về các vấn đề xoay quanh luận văn mà còn về phương pháp học tập vànghiên cứu khoa học. Tôi xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc nhất tới Thầy. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể các thầy cô giáo trong khoaToán - Cơ - Tin học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nộiđã cung cấp cho tôi những tri thức khoa học cũng như những bài học cuộc sống giảndị trong suốt thời gian học tập tại Khoa. Nhân dịp này, tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới gia đình, bạn bè và các đồng nghiệpđã luôn ở bên động viên, khích lệ. Đó cũng là động lực rất lớn để tôi hoàn thành bảnluận văn này. Hà Nội, ngày 06 tháng 12 năm 2010 Nguyễn Thị Bích Hạnh i LỜI MỞ ĐẦU Leonard Euler là người đầu tiên đã đưa ra ý tưởng về phép biến đổi tích phân (vàocác năm 1763 và 1769), ông đã nghiên cứu các phép biến đổi này trong khi sử dụngphép biến đổi Laplace ngược để giải cá ...