Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Phương trình tích phân Volterra

Nội dung của luận văn được trình bày trong ba chương. Chương 1 trình bày phương pháp xấp xỉ liên tiếp giải giải phương trình Volterra loại hai với vế phải và nhân là những hàm liên tục. Chương 2 trình bày phép biến đổi tích phân Laplace và vận dụng phép biến đổi này giải phương trình tích phân Volterra dạng chập trên nửa trục thực. Chương 3 trình bày về nghiệm tường minh của một số phương trình tích phân dạng Volterra là phương trình tích phân Abel và một số phương trình Volterra khác.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Phương trình tích phân Volterra ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN LÊ THỊ THU HÀPHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN VOLTERRA LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI - 2015 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN LÊ THỊ THU HÀPHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN VOLTERRA LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành : TOÁN GIẢI TÍCH Mã số : 60 46 01 02 Người hướng dẫn khoa học: TS. NGUYỄN VĂN NGỌC HÀ NỘI, 2015Mục lụcLời cảm ơn 1Mở đầu 21 Phương trình tích phân Volterra loại hai tổng quát và phương pháp xấp xỉ liên tiếp 4 1.1 Phương pháp xấp xỉ liên tiếp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2 Các ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 Phương trình tích phân Volterra dạng chập và biến đổi Laplace 16 2.1 Tích phân Gamma và tích phân Beta . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.2 Biến đổi Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.3 Phương trình Volterra trên nửa trục . . . . . . . . . . . . . . . . . 273 Nghiệm tường minh của một số phương trình tích phân dạng Volterra 34 3.1 Phương trình tích phân Abel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 3.1.1 Phương trình tích phân Abel loại một . . . . . . . . . . . . 34 3.1.2 Phương trình tích phân Abel loại hai . . . . . . . . . . . . 37 3.1.3 Phương trình tích phân dạng Abel . . . . . . . . . . . . . . 38 3.1.4 Phương trình tích phân Abel với nhân tổng quát . . . . . . 38 3.2 Phương trình Volterra với các nhân đa thức hay phân thức hữu tỷ 39 3.2.1 Đạo hàm theo tham số trong tích phân xác định . . . . . 39 3.2.2 Nhân đa thức bậc nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 3.2.3 Nhân đa thức bậc hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 3.2.4 Nhân đa thức bậc ba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 3.2.5 Nhân lũy thừa bậc cao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 3.2.6 Nhân phân thức hữu tỷ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 2 3.3 Phương trình Volterra với nhân căn thức hay lũy thừa phân . . . 47 3.3.1 Nhân căn thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 3.3.2 Nhân lũy thừa phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49Kết luận 52Tài liệu tham khảo 53 3 Lời cám ơn Lời đầu tiên, tôi xin trân trọng cảm ơn Thầy - TS Nguyễn Văn Ngọc đã tậntâm hướng dẫn, động viên tôi trong suốt quá trình thực hiện luận văn này. Xin chân thành cảm ơn Quý thầy cô khoa Toán - Cơ - Tin, Trường Đại họcKhoa Học Tự Nhiên, ĐHQG Hà Nội đã tận tâm truyền đạt kiến thức và kinhnghiệm cho tôi trong suốt khóa học. Xin cảm ơn Phòng Sau Đại học Trường Đại học Khoa Học Tự nhiên, ĐHQGHà Nội đã tạo điều kiện thuận lợi để tôi hoàn thành khóa học. Cho tôi gửi lời cảm ơn chân thành tới các đồng nghiệp, các bạn học viên caohọc Giải Tích khóa 2013-2015 đã giúp đỡ tôi trong thời gian học tập và thựchiện luận văn. Hà Nội, tháng 11 năm 2015 Lê Thị Thu Hà 1 Mở đầu Nhiều vấn đề trong toán học(phương trình vi phân với điều kiện biên hay điềukiện ban đầu, phương trình đạo hàm riêng), cơ học, vật lí và các ngành kĩ thuậtkhác dẫn đến những phương trình trong đó hàm chưa biết chứa dưới dấu tíchphân. Những loại phương trình đó được gọi là phương trình tích phân. Phươngtrình tích phân là công cụ toán học hữu ích trong nhiều lĩnh vực nên được quantâm nghiên cứu theo nhiều khía cạnh khác nhau như sự tồn tại nghiệm, sự xấpxỉ nghiệm, tính chỉnh hay không chỉnh, nghiệm chỉnh hóa,... Lý thuyết tổng quát của các phương trình tích phân tuyến tính được xâydựng ở buổi giao thời của các thế kỉ XIX, XX, chủ yếu là ở trong các công trìnhcủa Volterra, Fredholm và Hilbert, v.v.. Phương trình tích phân tuyến tính códạng Z b αu(x) + K(x, y)u(y)dy = f (x), a < x < b, (1) atrong đó u(x) là hàm cần tìm (ẩn hàm), f(x) và K(x, y) là những hàm cho trướcvà tương ứng được gọi là vế phải và nhân (hạch) của phương trình đã cho, α làhằng số đã cho. Phương trình (1) được gọi là phương trình loại 1 hay loại 2, tùythuộc vào α = 0, hay α 6= 0 tương ứng. Thông thường, trong trường hợp (a, b) là khoảng hữu hạn và K(x, y) là hàmliên tục hay khả tích trong hình chữ nhât (a, b) × (a, b) thì phương trình (1) đượcgọi là phương trình Predholm. Nếu trong phương trình (1), cận trên a, hay cận dưới b được thay bởi x, biếnthiên trong một khoảng nào đó, thì phương trình được gọi là phương trình tíchphân voltetrra. Như vậy, phương trình tích phân Volterra có dạng Z x λu(x) + K(x, y)u(y)dy = f (x), a < x < b, , (2) a Z b λu(x) + K(x, y)u(y)dy = f (x) ...