Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Phương trình vi phân và phương trình tích phân Volterra trong không gian Banach

Định lý Bielecki được chứng minh để áp dụng vào chứng minh sự tồn tại và duy nhất nghiệm của phương trình vi phân. Trình bày các dạng phương trình vi phân bao gồm phương trình thuần nhất, không thuần nhất, autonomous, non-autonomous và đưa ra các công thức nghiệm tương ứng, cuối cùng là ứng dụng công thức nghiệm vào nghiên cứu tính ổn định mũ đều của nghiệm của phương trình vi phân.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Phương trình vi phân và phương trình tích phân Volterra trong không gian Banach ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ----------------------- NGUYỄN XUÂN NGHĨA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN VÀ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂNVOLTERRA TRONG KHÔNG GIAN BANACH Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS.TSKH. NGUYỄN VĂN MẬU Hà Nội – Năm 2013Mục lụcMỞ ĐẦU 21 NHỮNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 5 1.1 Đại cương về không gian Banach và lý thuyết toán tử . . . . . . . 5 1.2 Đạo hàm và tích phân của hàm nhận giá trị trong không gian Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.3 Nửa nhóm liên tục mạnh tác động trên không gian Banach . . . . 182 PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN VOLTERRA TRONG KHÔNG GIAN BANACH 21 2.1 Phương trình tích phân Volterra và Định lý Bielecki . . . . . . . . 21 2.2 Phương pháp xấp xỉ liên tiếp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.3 Một số ví dụ minh họa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TRONG KHÔNG GIAN BA- NACH 35 3.1 Phương trình vi phân với vế phải liên tục . . . . . . . . . . . . . . 35 3.1.1 Phương trình vi phân tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . 35 3.1.2 Phương trình vi phân autonomous và non-autonomous . . 36 3.2 Phương trình vi phân với vế phải không liên tục . . . . . . . . . . 45 3.2.1 Phương trình vi phân autonomous . . . . . . . . . . . . . . 46 3.2.2 Phương trình vi phân non-autonomous . . . . . . . . . . . 50 3.3 Ổn định mũ đều của nghiệm của phương trình vi phân . . . . . . 55 3.3.1 Ổn định mũ đều của nghiệm của phương trình thuần nhất 55 3.3.2 Ổn định mũ đều của nghiệm của phương trình không thuần nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 KẾT LUẬN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 1MỞ ĐẦU Phương trình vi phân trong toán học được xuất hiện từ đời sống thực tiễncũng như trên cơ sở phát triển của các khoa học khác nhau, bao gồm cả khoahọc tự nhiên và khoa học xã hội. Một phương trình vi phân là một kết quả củaviệc mô tả (bằng toán học) các hiện tượng chuyển động của vật thể, quá trìnhsinh trưởng và phát triển của các loài sinh vật... Một ví dụ điển hình cho phương trình vi phân đó là định luật II Newton vềchuyển động của một vật thể, dx m. (t) = F (t), (1) dttrong đó hằng số m là khối lượng của vật thể, x(t) là vận tốc của vật thể tại thờiđiểm t, dx dt (t) = a(t) là gia tốc tại thời điểm t của vật thể và F (t) là lực hỗn hợptác động vào vật thể tại thời điểm t. Thông thường, lực hỗn hợp F (t) còn phụ thuộc vào cả vận tốc x(t) nữa. Vậyphương trình (1), với f (t, x) = m1 F (t, x), được viết lại thành dx (t) = f (t, x(t)). (2) dtĐây chính là một phương trình vi phân tổng quát cấp một ẩn là hàm x(t). Việcnghiên cứu phương trình (2) sẽ giúp chúng ta biết được các tính chất của vậntốc x(t) tại thời điểm t bất kỳ của vật thể. Giả sử chúng ta yêu cầu thêm một điều kiện cho trước về vận tốc tại thờiđiểm ban đầu x(t0 ) = x0 , (3)khi đó với các giả thiết kỹ thuật nào đó đặt lên cho phương trình (2) thì nó cùngvới điều kiện (3) được chuyển về phương trình Z t x(t) = x0 + f (s, x(s))ds. (4) t0Phương trình (4) chính là một phương trình tích phân Volterra. Như vậy phươngtrình tích phân Volterra được xuất hiện khi nghiên cứu phương trình vi phântương ứng. 2MỞ ĐẦU Các kết quả thu được của lý thuyết phương trình vi phân trong không gianthực cũng đã rất nhiều, nhưng không phải là tổng quát. Vậy nên để có kết quảtổng quát, người ta cần nghiên cứu phương trình vi phân trong các không giantổng quát hơn. Một trong số đó là không gian Banach. Lý thuyết phương trìnhvi phân trong không gian Banach được bắt nguồn từ công trình nghiên cứu củaHille và Yosida (1948) về sự tồn tại nghiệm của phương trình dx dt = Ax với Alà một toán tử không liên tục trong không gian Banach, các kết quả thu đượcdựa trên ngôn ngữ của nửa nhóm toán tử. Năm 1953 Kato đã nghiên cứu thànhcông sự tồn tại nghiệm của bài toán Cauchy cho phương trình dx dt = A(t)x vớiA(t) là các toán tử không liên tục. Sau đó, trong những bài báo của mình, Hille,Yosida, Phillips và Kato đã đặt nền móng cho lý thuyết phương trình vi phânvới toán tử không liên tục. Nó đã trở thành một lĩnh vực toán học độc lập, thúvị và thu hút được sự quan tâm của nhiều nhà toán học trên thế giới. Luận văn Phương trình vi phân và phương trình tích phân Volterra trong không gian Banachđược chia thành ba chương: Chương 1. Những kiến thức chuẩn bị. Chương này nhằm cung cấp cơsở lý thuyết cho hai chương sau, b ...