Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Rẽ nhánh và vài ứng dụng cho các hệ phẳng

Lý thuyết rẽ nhánh là nghiên cứu toán học về những thay đổi trong bức tranh pha của nghiệm phương trình sai phân, nghiệm phương trình vi phân và hệ phương trình vi phân. Rẽ nhánh xảy ra khi thay đổi nhỏ giá trị tham số của một hệ động lực gây ra sự thay đổi đột ngột trong bức tranh pha. Rẽ nhánh được chia ra làm hai loại. Mời các bạn cùng tham khảo.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Rẽ nhánh và vài ứng dụng cho các hệ phẳng ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Nguyễn Thị HươngRẼ NHÁNH VÀ VÀI ỨNG DỤNG CHO CÁC HỆ PHẲNG LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội - Năm 2020 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Nguyễn Thị HươngRẼ NHÁNH VÀ VÀI ỨNG DỤNG CHO CÁC HỆ PHẲNG Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 8460101.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS. LÊ HUY TIỄN Hà Nội - Năm 2020 LỜI CẢM ƠN Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất tới TS. Lê Huy Tiễn, người đãđịnh hướng chọn đề tài và tận tình hướng dẫn để em hoàn thành luận vănnày. Em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới khoa Toán - Cơ - Tin Học, Đạihọc Khoa Học Tự Nhiên, Đại Học Quốc Gia Hà Nội. Cảm ơn các thầy cô giáođã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho em trong suốt quá trình học tập và hoànthành luận văn cao học. Em xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè, người thânđã luôn động viên, cổ vũ em trong quá trình học tập. Hà Nội, ngày 23 tháng 02 năm 2020 Học viên Nguyễn Thị Hương iMục lụcLời cảm ơn iLời nói đầu 1Bảng thuật ngữ và ký hiệu 3Danh sách hình 41 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ VÀ VÍ DỤ RẼ NHÁNH CỦA PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN 5 1.1 Hình dung ban đầu về rẽ nhánh . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.1 Ví dụ rẽ nhánh trong phương trình đại số . . . . . . . . 6 1.1.2 Ví dụ rẽ nhánh trong phương trình vi phân . . . . . . . 7 1.2 Kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3 Vài ví dụ rẽ nhánh của phương trình sai phân một chiều . . . 122 SỰ TỒN TẠI RẼ NHÁNH CỦA PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN MỘT CHIỀU 21 2.1 Thác triển địa phương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.2 Rẽ nhánh nút-yên ngựa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.3 Rẽ nhánh dĩa và rẽ nhánh xuyên tới hạn . . . . . . . . . . . . . 25 2.4 Rẽ nhánh nhân đôi chu kỳ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.5 Dạng chuẩn tắc của rẽ nhánh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.5.1 Dạng chuẩn tắc của rẽ nhánh nút yên-ngựa . . . . . . . 27 2.5.2 Dạng chuẩn tắc của rẽ nhánh xuyên tới hạn . . . . . . 28 2.5.3 Dạng chuẩn tắc của rẽ nhánh dĩa . . . . . . . . . . . . . 29 2.5.4 Rẽ nhánh nhân đôi chu kỳ . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ii3 RẼ NHÁNH TRONG HỆ PHẲNG 32 3.1 Rẽ nhánh ánh xạ co diện tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 3.2 Rẽ nhánh ánh xạ bảo toàn diện tích . . . . . . . . . . . . . . . 36Kết luận 41Tài liệu tham khảo 42 iii LỜI NÓI ĐẦU Trong hệ động lực, rẽ nhánh là khái niệm ngược với ổn định. Khái niệm rẽ nhánh lần đầu tiên được giới thiệu bởi Henri Poincaré vàonăm 1885, sau đó được các nhà toán học nghiên cứu sâu rộng, chẳng hạn[1], [2], [3], [4], [5], [6], [7], [8], [9], [10], [11], [12], . . . . Lý thuyết rẽ nhánhlà nghiên cứu toán học về những thay đổi trong bức tranh pha của nghiệmphương trình sai phân, nghiệm phương trình vi phân và hệ phương trình viphân. Rẽ nhánh xảy ra khi thay đổi nhỏ giá trị tham số của một hệ động lựcgây ra sự thay đổi đột ngột trong bức tranh pha. Rẽ nhánh được chia ra làmhai loại. • Rẽ nhánh địa phương xảy ra khi thay đổi tham số làm cho bức tranh pha xung quanh điểm cân bằng hoặc điểm tuần hoàn thay đổi. • Rẽ nhánh toàn cục xảy ra khi thay đổi tham số làm cho bức tranh pha toàn cục thay đổi.Trong luận văn này, tác giả nghiên cứu một số rẽ nhánh địa phương sau. 1. Rẽ nhánh nút-yên ngựa (saddle-node). 2. Rẽ nhánh xuyên tới hạn (transcritical). 3. Rẽ nhánh dĩa (pitchfork). 4. Rẽ nhánh nhân đôi chu kỳ (period doubling). Luận văn gồm phần mở đầu, ba chương, phần kết luận và danh mục tàiliệu tham khảo. Chương 1. Các ví dụ rẽ nhánh của phương trình sai phân mộtchiều Trong chương này tác giả sẽ trình bày lại những kiến thức liên quan đến sựrẽ nhánh của phương trình sai phân cụ thể là các định nghĩa điểm bất động, 1điểm tuần hoàn, điểm ổn định (hút), điểm không ổn định (đẩy). Sau đó, cácví dụ rẽ nhánh nói trên được tính toán chi tiết và minh họa hình học. Chương 2. Sự tồn tại rẽ nhánh của phương trình sai phân mộtchiều Mục đích của chương này là trình bày các định lý tồn tại các rẽ nhánhnút-yên ngựa, rẽ nhánh xuyên tới hạn, rẽ nhánh dĩa, rẽ nhánh nhân đôi chukỳ. Chương 3. Rẽ nhánh trong hệ phẳng Trong chương này tác giả đưa ra một số ví dụ về rẽ nhánh trong các hệhai chiều, nhấn mạnh vào tính co diện tích và tính bảo toàn diện tích. Nội dung luận văn chủ yếu tham khảo từ cuốn sách [2]. Luận văn chỉ xétrẽ nhánh của hệ rời rạc, tức là các phương trìn ...