Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Sử dụng hằng số giải bài toán cực trị

Bất đẳng thức là một vấn đề khá cổ điển nhưng xuất hiện trong mọi lĩnh vực của toán học. Bất đẳng thức được áp dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực của toán học và nhiều ngành khoa học tự nhiên. Một bộ phận thường gặp trong các bài toán bất đẳng thức đó là các bài toán tìm cực trị. Mời các bạn cùng tham khảo.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Sử dụng hằng số giải bài toán cực trị ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘITRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ------------------- CẤN THỊ THU THẢO SỬ DỤNG HẰNG SỐ GIẢI BÀI TOÁN CỰC TRỊ LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội – 2014 1 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘITRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ------------------- CẤN THỊ THU THẢO SỬ DỤNG HẰNG SỐ GIẢI BÀI TOÁN CỰC TRỊ LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp Mã số: 60.46.01.13 NGƢỜI HƢỚNG DẪN KHOA HỌC PGS .TS . NGUYỄN VŨ LƢƠNG Hà Nội – 2014 2 MỤC LỤCLỜI NÓI ĐẦU…………………………………………………………………2Chương 1. Một số kết quả cơ bản……………………………………………41.1 Bất đẳng thức dạng trung bình AM – GM và áp dụng…………………4 1.1.1 Bất đẳng thức AM – GM…………………………………………..4 1.1.2 Một số bài toán cực trị có điều kiện dạng căn thức………………..6 1.1.3 Một số bài toán cực trị có điều kiện dạng phân thức………………121.2 Bất đẳng thức Cauchy – Schwarzt và áp dụng………………………….19 1.2.1 Bất đẳng thức Cauchy – Schwarz………….……………………...19 1.2.2 Hệ quả……………………………………………………………...20 1.2.3 Bài tập ứng dụng………………………………………………….. 21 1.2.4 Một dạng bất đẳng thức xoay vòng chứa căn…………………….. 31Chương 2. Một số kĩ năng sử dụng hằng số………………………………….352.1 Sử dụng hằng số là nghiệm của phương trình thu được từ điều kiện củabài toán…………………………………………………………………………352.2 Sử dụng hằng số như là tham số của bài toán……………………………59KẾT LUẬN…………………………………………………………………….75TÀI LIỆU THAM KHẢO…………………………………………………….76 3 LỜI NÓI ĐẦUBất đẳng thức là một vấn đề khá cổ điển nhưng xuất hiện trong mọi lĩnh vực củatoán học. Bất đẳng thức được áp dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực của toán họcvà nhiều ngành khoa học tự nhiên. Một bộ phận thường gặp trong các bài toán bấtđẳng thức đó là các bài toán tìm cực trị. Trong những bài toán cực trị cơ bản thìviệc sử dụng hằng số có thể xây dựng được các lời giải hay, ngắn gọn và đơn giản.Dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Nguyễn Vũ Lương, tác giả đã hoàn thành luận văncủa mình với đề tài: Sử dụng hằng số giải bài toán cực trịLuận văn được chia thành hai chương:Chương 1. Một số kết quả cơ bản. Trong chương này, tác giả trình bày một sốbài toán tìm cực trị có sử dụng bắt đẳng thức AM – GM và bất đẳng thức Cauchy –Schwarz.Chương 2. Một số kĩ năng sử dụng hằng số. Trong chương này tác giả trình bàymột số kĩ năng sử dụng hằng số để tìm cực trị. Những kĩ năng này được chia thànhhai dạng:1. Sử dụng hằng số là nghiệm của phương trình thu được từ điều kiện của bài toán.2. Sử dụng hằng số như là tham số của bài toán.Mặc dù đã có nhiều cố gắng, song do thời gian và trình độ còn hạn chế nên luậnvăn khó tránh khỏi những thiếu sót. Vì vậy, tác giả rất mong nhận được sự góp ýcủa các thầy cô và các bạn để luận văn được hoàn thiện hơn. 4Qua luận văn này, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS.TS Nguyễn VũLương, người Thầy đã truyền cho tác giả có niềm say mê nghiên cứu Toán học.Thầy đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình học tập và hoànthiện luận văn này.Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, Phòng Đào tạo Sau đại học, KhoaToán – Cơ – Tin, các thầy cô đã tạo điều kiện thuận lợi cho em hoàn thành bảnluận văn này.Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày 15 tháng 2 năm 2014 Học viên Cấn Thị Thu Thảo 5 CHƢƠNG I. MỘT SỐ KẾT QUẢ CƠ BẢN1.1 Bất đẳng thức dạng trung bình AM – GM và áp dụng1.1.1 Bất đẳng thức AM – GMGiả sử a1 ,a 2 ,...,a n là n số thực không âm, khi đó ta có: a1  a 2  ...  a n n  a1a 2 ...a n (1) nĐẳng thức xảy ra  a1  a 2  ...  a nChứng minh.Có nhiều cách để chứng minh bất đẳng thức AM – GM. Tuy nhiên, ở đây ta sẽchứng minh bằng phương pháp quy nạp Côsi.   2 a1  a 2 a1  a 2- Với n = 2:  a1a 2  0 2 2 a1  a 2  a1a 2 (Đúng) 2Đẳng thức xảy ra  a1  a 2  0  a1  a 2- Giả sử bất đẳng thức (1) đúng với n = k. Ta sẽ chứng minh bất đẳng thức (1)đúng với n = 2k.Thật vậy, xét 2k số thực a1 ,a 2 ,...,a k ,a k1 ,...,a2k  0 .Sử dụng giả thiết quy nạp ta cóa1  a 2  ...  a 2k 1  a1  a 2  ...  a k a k 1  ...  a 2k      2k 2 k k  1 2  k a1...a k  k a k 1...a 2k   k a1 ...a k . k a k 1 ...a 2k 6 2k a1a 2 ...a k ...a 2k a1  a 2  ...  a k Đẳng thức xảy ra  a k 1  a k  2  ...  a 2k  a1  a 2  ...  a k  ...a 2k k  a1a 2 ...a k  a k 1a k 2 ...a 2k k- Giả sử bất đẳng thức đúng với n = p, ta sẽ chứng minh bất đẳng thức đúng vớin = p – 1.Thật vậy, xét (p – 1) số a1 ,a 2 ,...,a p1  0 . Sử d ...