Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Tính ổn định của phương trình vi phân có chậm và một số ứng dụng

Đề tài trình bày những kiến thức cơ sở về phương trình vi phân hàm:giới thiệu về khái niệm và cách tìm nghiệm theo điều kiện ban đầu của một số loại phương trình vi phân có chậm. Các ví dụ ở phần này ngoài mục đích giới thiệu cách giải phương trình vi phân hàm còn nhằm làm bật tính vô hạn chiều của tập nghiệm của phương trình vi phân hàm, bất kể không gian trạng thái là hạn chiều hay hữu hạn chiều.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Tính ổn định của phương trình vi phân có chậm và một số ứng dụng ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - - - - - - - - - o0o - - - - - - - - - NGUYỄN THỊ HẬUTÍNH ỔN ĐỊNH CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CÓ CHẬM VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội - 2013 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - - - - - - - - - o0o - - - - - - - - - NGUYỄN THỊ HẬUTÍNH ỔN ĐỊNH CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CÓ CHẬM VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH Mã số: 60460102 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS. NGUYỄN SINH BẢY Hà Nội - 2013Mục lục1 Phương trình vi phân có chậm 4 1.1 Giới thiệu về phương trình vi phân hàm . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.1 Dạng biểu diễn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.2 Nghiệm và định lý tồn tại duy nhất nghiệm . . . . . . . . . 6 1.2 Cách giải phương trình có chậm hằng rời rạc . . . . . . . . . . . . 7 1.2.1 Trường hợp có một độ chậm hằng rời rạc . . . . . . . . . . 7 1.2.2 Trường hợp có nhiều độ chậm hằng rời rạc . . . . . . . . . 142 Sự ổn định của các phương trình vi phân có chậm 18 2.1 Kiến thức mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.1.1 Khái niệm nghiệm ổn định, bị chặn . . . . . . . . . . . . . 18 2.1.2 Một số bổ đề cần dùng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.1.3 Phương pháp nghiên cứu tính ổn định . . . . . . . . . . . 20 2.2 Hệ tuyến tính không dừng và phương trình Riccati . . . . . . . . 24 2.3 Các kết quả cho phương trình vi phân có chậm phân phối . . . . . 30 2.4 Bất phương trình ma trận với hệ tuyến tính không dừng . . . . 343 Một vài ứng dụng của phương trình vi phân có chậm 39 3.1 Ứng dụng vào bài toán ổn định hóa . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 3.2 Ứng dụng vào mô hình tăng trưởng quần thể một loài . . . . . . . 45 1Mở Đầu Lý thuyết ổn định các phương trình vi phân là một trong những hướng nghiêncứu quan trọng của Toán học. Lý thuyết này được được khởi đầu từ những đòihỏi của thực tế và có nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực khác nhau như Cơ học,Điều khiển học, Vật lý, Toán học, Sinh thái học, Kỹ thuật, Kinh tế, ... . Hiệnnay lý thuyết ổn định vẫn là một trong những lĩnh vực Toán học lớn được nhiềungười quan tâm. Lý thuyết ổn định đã được nghiên cứu nhiều cho các hệ phương trình vi phânthường. Ngày nay, việc nghiên cứu đã được mở rộng theo nhiều hướng. Mộttrong số đó là nghiên cứu trên các phương trình vi phân hàm, đặc biệt là cácphương trình có chậm. Luận văn này đề cập đến tính ổn định của một lớp cácphương trình vi phân có chậm và trình bày một vài ứng dụng của nó. Bố cục luận văn gồm phần mở đầu, ba chương, phần kết luận và danh mụctài liệu tham khảo. Chương một trình bày những kiến thức cơ sở về phương trình vi phân hàm:giới thiệu về khái niệm và cách tìm nghiệm theo điều kiện ban đầu của một sốloại phương trình vi phân có chậm. Các ví dụ ở phần này ngoài mục đích giớithiệu cách giải phương trình vi phân hàm còn nhằm làm bật tính vô hạn chiềucủa tập nghiệm của phương trình vi phân hàm, bất kể không gian trạng thái làvô hạn chiều hay hữu hạn chiều. Chương hai trình bày khái niệm ổn định nghiệm và các phương pháp chính đểnghiên cứu tính ổn định của hệ phương trình vi phân có chậm. Các định lý ở đâyđều thuộc hướng nghiên cứu ổn định bằng phương pháp thứ hai Lyapunov. Vớicác phương trình hàm, thay vì hàm Lyapunov thông thường ta sẽ cần dùng tớicác công cụ mạnh hơn đó là các phiếm hàm Lyapunov- Krasovskii trong khônggian các hàm liên tục. Ngoài ra, chương này còn giới thiệu công thức nghiệmcủa phương trình ma trận Riccati trong trường hợp hệ tuyến tính không dừngvà kết quả cho phương trình vi phân có chậm không dừng. Chương ba trình bày một số ứng dụng của phương trình vi phân có chậm. 2Cụ thể là ứng dụng các kết quả ổn định của các hệ có chậm vào bài toán điềukhiển và bài toán phân tích tính chất quần thể sinh thái đơn loài. Bản luận văn này được thực hiện dưới sự hướng dẫn của PGS. TS. NguyễnSinh Bảy. Nhân dịp này tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy, người đãdành nhiều công sức và thời gian để hướng dẫn, kiểm tra, giúp đỡ tôi trong việchoàn thành bản luận văn. Tôi xin gửi lời cảm ơn đến lãnh đạo và các thầy cô trong khoa Toán - Cơ -Tin học, trường Đại học Khoa học Tự nhiên Hà Nội về các kiến thức và nhữngđiều tốt đẹp mang lại cho tôi trong thời gian học tập tại trường. Tôi xin cảm ơntới phòng Sau Đại học về những điều kiện thuận lợi trong việc hoàn thành thủtục học tập và bảo vệ luận văn. Cám ơn các thầy và các bạn trong seminar Phương trình vi phân về nhữngsự động viên và những ý kiến trao đổi quí báu đối với bản thân tôi trong thờigian qua. Cuối cùng tôi muốn tỏ lòng biết ơn gia đình, người thân là chỗ dựa về tinhthần và vật chất cho tôi trong cuộc sống và trong học tập. Mặc dù đã có nhiều cố gắng nhưng bản luận văn khó tránh khỏi những thiếusót. Vì vậy, tôi rất mong nhận được sự góp ý của quý thầy, cô và các bạn. Hà Nội, tháng 11 năm 2013 ...