Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Toán tử tuyến tính xác định trù mật và L mũ 2 đánh giá cho phương trình ¯∂

Luận văn có kết cấu nội dung gồm phần mở đầu, phần nội dung, phần kết luận và danh mục tài liệu tham khảo. Phần nội dung gồm 2 chương. Chương 1: Kiến thức chuẩn bị. Chương 2: L mũ 2 đánh giá cho phương trình ∂.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Toán tử tuyến tính xác định trù mật và L mũ 2 đánh giá cho phương trình ¯∂ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘITRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN- - - - - - - - - o0o - - - - - - - - -NGUYỄN THỊ MAITOÁN TỬ TUYẾN TÍNH XÁC ĐỊNH TRÙ MẬT¯VÀ L2 ĐÁNH GIÁ CHO PHƯƠNG TRÌNH ∂LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌCHà Nội - 2016ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘITRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN- - - - - - - - - o0o - - - - - - - - -NGUYỄN THỊ MAITOÁN TỬ TUYẾN TÍNH XÁC ĐỊNH TRÙ MẬT¯VÀ L2 ĐÁNH GIÁ CHO PHƯƠNG TRÌNH ∂Chuyên ngànhTOÁN GIẢI TÍCHMã số60460102LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌCNGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌCTS. NGUYỄN THẠC DŨNGHà Nội - 2016Mục lụcLời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Lời mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .231 Kiến thức chuẩn bị51.1 Toán tử xác định trù mật trong không gian Hilbert . . . . . . . . 51.2 Không gian L2 (Ω, ϕ) và toán tử ∂ xác định trù mật . . . . . . . . 16p,q2 L2 đánh giá cho phương trình ∂2.1 Các kết quả xấp xỉ cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.2 Phương pháp L2 đánh giá H¨rmander giải phương trình ∂ . . . . .oTài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .130304050Lời cảm ơnĐể bản luận văn này được hoàn thành, trước hết em xin gửi lời cảm ơn sâusắc tới thầy giáo - TS. Nguyễn Thạc Dũng, người đã tận tình hướng dẫn, chỉbảo em trong suốt thời gian làm luận văn. Sự chỉ dạy của thầy về kiến thức vàcả cách làm việc sẽ giúp em rất nhiều trong quá trình học tập và làm việc saunày.Em cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới lãnh đạo và toàn thể các thầycô giáo trong khoa Toán - Cơ - Tin học, trường ĐH Khoa học Tự Nhiên - ĐHQuốc gia Hà Nội đã dạy bảo em tận tình trong suốt quá trình học tập tại khoa.Cuối cùng em cũng xin được gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè đã luôn chiasẻ, động viên, giúp đỡ và tạo mọi điều kiện để em hoàn thành luận văn này.Mặc dù đã cố gắng nhưng bản luận văn này vẫn không tránh khỏi nhữngthiếu sót. Rất mong nhận được sự góp ý từ phía thầy cô và bạn bè.Em xin chân thành cảm ơn !Hà Nội, tháng 11 năm 2016Nguyễn Thị Mai2Lời mở đầuCho f là một dạng vi phân song bậc (p, q) với các hệ số bình phương khả tíchứng với một độ đo Lebesgue có trọng nào đó, việc giải phương trình¯∂α = flà đi tìm một dạng vi phân α song bậc (p, q) với các hệ số trong một không gian¯Hilbert xác định sao cho đẳng thức ∂α = f được nghiệm đúng theo nghĩa suyrộng hoặc cổ điển.¯Phương trình ∂ như trên là một trong những phương trình quan trọng nhất¯của lý thuyết hàm chỉnh hình nhiều biến phức. Việc giải phương trình ∂ gắnliền với bài toán xác định hàm chỉnh hình, bài toán thác triển hàm chỉnh hình,xác định các nhóm đối đồng điều Dolbeaux trên các miền chỉnh hình,... Bởi tính¯quan trọng của phương trình ∂ trong giải tích phức nhiều biến, hình học phức¯và tô pô, bài toán giải phương trình ∂ và tìm các ứng dụng của nó cho đến nayvẫn thu hút được sư quan tâm nghiên cứu của nhiều nhà toán học lớn trên thếgiới.Trong những năm 1965, trong bài báo nổi tiếng [2], H¨rmander đã đưa raomột lời giải rất đẹp, rất tự nhiên và sáng sủa cho bài toán tồn tại nghiệm, chính¯quy hóa nghiệm của phương trình ∂ bằng các phương pháp của lý thuyết giải¯tích hàm trên các không gian Hilbert. Nhận thấy rằng, toán tử ∂ là một toántử tuyến tính, đóng, xác định trù mật giữa các không gian Hilbert xác định.H¨rmander đã chứng minh một loạt các ước lượng L2 đánh giá cơ bản và vậnodụng các ước lượng này cùng với lý thuyết toán tử trong không gian Hilbert để¯giải quyết trọn vẹn bài toán tồn tại và chính quy hóa nghiệm cho phương trình ∂nói trên. Ngay sau khi phương pháp L2 đánh giá Hormander được giới thiệu, chođến nay đã có nhiều thành tựu phát triển phương pháp nói trên và ngày càngnhiều ứng dụng của phương pháp L2 đánh giá được phát hiện. Phương phápL2 đánh giá H¨rmander là một trong những công cụ quan trọng trong hình họcophức, hình học đại số, lý thuyết đa thế vị, tô pô và nhiều lĩnh vực khác.3