Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Về dạng chuẩn edwards và một vài ứng dụng

Luận văn trình bày định nghĩa đường cong Edwards và đường cong Edwards cuộn theo nghiên cứu của Berstein và các cộng sự. Tác giả cũng đi vào chi tiết việc xây dựng phép cộng điểm trên các dạng đường cong này, và từ đấy đi tính các nhóm xoắn có thể có của chúng trên trường Q.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Về dạng chuẩn edwards và một vài ứng dụng „I HÅC QUÈC GIA H€ NËITR×ÍNG „I HÅC KHOA HÅC TÜ NHI–N H€ NËI Và TÒNG LINH V— D„NG CHU‰N EDWARDS V€ MËT V€I ÙNG DÖNG LUŠN V‹N TH„C Sž TON HÅC H€ NËI - 2014 „I HÅC QUÈC GIA H€ NËI TR×ÍNG „I HÅC KHOA HÅC TÜ NHI–N Và TÒNG LINHV— D„NG CHU‰N EDWARDS V€ MËT V€I ÙNG DÖNG Chuy¶n ngnh: „I SÈ V€ LÞ THUY˜T SÈ M¢ sè: 60460104 LUŠN V‹N TH„C Sž TON HÅC Ng÷íi h÷îng d¨n khoa håc: TS. Phâ ùc Ti H€ NËI - 2014Möc löc Líi c£m ìn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Líi mð ¦u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 Ki¸n thùc chu©n bà 6 1.1 Lþ thuy¸t chung v· ÷íng cong elliptic . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2 D¤ng Montgomery cõa ÷íng cong elliptic . . . . . . . . . . . . 122 D¤ng chu©n Edwards cho ÷íng cong elliptic 15 2.1 D¤ng chu©n Edwards . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.1.1 D¤ng chu©n Edwards . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.1.2 Hai cæng thùc cëng iºm tr¶n ÷íng cong Edwards . . . 20 2.2 Nhâm c¡c iºm tr¶n ÷íng cong Edwards cuën . . . . . . . . . 273 Mët sè ùng döng cõa ÷íng cong d¤ng chu©n Edwards 41 3.1 C¡c iºm câ c§p nhä tr¶n ÷íng cong Edwards cuën . . . . . . 41 3.2 Nhâm xon cõa ÷íng cong Edwards tr¶n Q . . . . . . . . . . . 46 3.3 Ùng döng cõa ÷íng cong Edwards trong mªt m¢ . . . . . . . . 58 K¸t luªn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 Ti li»u tham kh£o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 1Líi c£m ìnB£n luªn v«n ny ÷ñc hon thnh d÷îi sü h÷îng d¨n v ch¿ b£o tªn t¼nh cõaTh¦y gi¡o, Ti¸n s¾ Phâ ùc Ti, Gi£ng vi¶n Khoa To¡n-Cì-Tin håc, Tr÷íng¤i håc Khoa håc Tü nhi¶n, ¤i håc Quèc gia H nëi. Th¦y ¢ ginh nhi·uthíi gian h÷îng d¨n, trao êi v gi£i ¡p nhúng thc mc cõa tæi trong suètqu¡ tr¼nh lm luªn v«n. Qua luªn v«n ny, tæi muèn by tä láng bi¸t ìn s¥usc ¸n Th¦y gi¡o cõa m¼nh. Tæi xin gûi líi c£m ìn s¥u sc ¸n c¡c L¢nh ¤o Vi»n Khoa håc - Cæng ngh»Mªt m¢, Ban Cì Y¸u Ch½nh Phõ, L¢nh ¤o Ph¥n vi»n Nghi¶n cùu Khoa håcMªt m¢ v t§t c£ c¡c Cæ, Chó v Anh, Chà, Em çng nghi»p trong ìn và ¢t¤o i·u ki»n tèi a công nh÷ ¢ âng gâp nhúng þ ki¸n quþ b¡u gióp tæi honthnh luªn v«n ny. Tæi công xin gûi líi c£m ìn s¥u sc tîi PGS.TS. L¶ Minh H v c¡c Th¦y,Cæ trong Khoa To¡n-Cì-Tin håc, Tr÷íng ¤i håc Khoa håc Tü Nhi¶n, ¤i håcQuèc Gia H nëi, công nh÷ t§t c£ nhúng Th¦y, Cæ ¢ tham gia gi£ng d¤y khâaCao håc 2011-2013. N¸u khæng câ nhúng líi ëng vi¶n, h÷îng d¨n v cæng laod¤y dé cõa c¡c Th¦y, Cæ th¼ tæi công khæng hon thnh ÷ñc luªn v«n ny. Líi cuèi còng, tæi muèn gûi líi c£m ìn s¥u sc ¸n Bè, Mµ v gia ¼nh tæi,nhúng ng÷íi ¢ tin t÷ðng s¥u sc, ¢ luæn cê vô ëng vi¶n v chia s´ måi khâkh«n gióp tæi hon thnh luªn v«n ny. Tæi công xin c£m ìn t§t c£ nhúng anhem b¤n b± luæn b¶n c¤nh tæi trong trong suèt khâa håc ny. Tæi xin ch¥n thnh c£m ìn t§t c£! H Nëi, th¡ng 12 n«m 2014 Håc vi¶n Vã Tòng Linh 2Líi mð ¦u Trong nhúng n«m 80 cõa th¸ k¿ tr÷îc, Neal Kobliz v Victor Miller ¢ ëclªp · xu§t vi»c sû döng ÷íng cong elliptic cho c¡c h» mªt m¢ khâa cængkhai. Tø â ¸n nay h» mªt ÷íng cong elliptic ¢ ÷ñc nghi¶n cùu s¥u rëngv trð n¶n phê bi¸n còng vîi c¡c h» mªt m¢ khâa cæng khai kh¡c, ch¯ng h¤nnh÷ RSA, Diffie Hellman v ElGamal. Do ÷u th¸ l câ cï cõa c¡c tham bi¸nnhä hìn so vîi c¡c h» mªt m¢ khâa cæng khai kh¡c khi x²t ð còng mët mùc anton n¶n h» mªt ÷íng cong elliptic l r§t h§p d¨n èi vîi c¡c ùng döng mcâ ti nguy¶n h¤n ch¸. Vo n«m 2007, Harold Edwards trong [7] ¢ · xu§t mët d¤ng chu©n tcmîi cho c¡c ÷íng cong elliptic. B¬ng vi»c têng qu¡t hâa mët v½ dö bt nguçntø Euler v Gauss, Edwards ¢ giîi thi»u mët ph²p cëng iºm tr¶n ÷íng congx2 + y 2 = c2 (1 + x2 y 2 ) tr¶n mët tr÷íng k câ °c sè kh¡c 2. M°c dò bi b¡ocõa H. Edwards khæng tªp trung vo vi»c ¡p döng d¤ng ÷íng cong ny trongmªt m¢, nh÷ng d¦n d¦n, vîi nhúng nghi¶n cùu sau â, d¤ng chu©n tc ny¢ thº hi»n c¡c t½nh ch§t mªt m¢ ¡ng mong muèn v húu ½ch trong né lüctr¡nh º lë thæng ...