Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Về phân tích phổ của hệ động lực Tôpô

Nội dung luận văn được chia làm 2 chương trình bày các kiến thức chuẩn bị. Trong chương này, chúng tôi sẽ trình bày các kiến thức đồng phôi giãn của một không gian mêtric tôpô và các tính chất liên quan, tính bóng của đồng phôi và đồng phôi Anosov tôpô; phân tích phổ của hệ động lực tôpô. Các nội dung quan trọng và chứng minh chi tiết về phân tích phổ theo Smale và Bowen sẽ được trình bày.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Về phân tích phổ của hệ động lực Tôpô ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘITRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN KHOA TOÁN - CƠ - TIN HỌC ——————–o0o——————– NGUYỄN HOÀNG VIỆT VỀ PHÂN TÍCH PHỔ CỦA HỆ ĐỘNG LỰC TÔ-PÔ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - 2019 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘITRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN KHOA TOÁN - CƠ - TIN HỌC ——————–o0o——————– NGUYỄN HOÀNG VIỆT VỀ PHÂN TÍCH PHỔ CỦA HỆ ĐỘNG LỰC TÔ-PÔ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 8460102 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS LÊ HUY TIỄN Hà Nội - 2019Mục lụcLời cảm ơn 1Mở đầu 11 Kiến thức chuẩn bị 3 1.1 Tính giãn đồng phôi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2 Tính bóng của đồng phôi . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.3 Đồng phôi Anosov tôpô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 Phân tích phổ của hệ động lực tôpô 23 2.1 Tập quay lui xích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.2 Tập ổn định và không ổn định . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.3 Phân tích phổ của hệ động lực tô-pô . . . . . . . . . . . 35Kết luận 44Tài liệu tham khảo 45 i LỜI CẢM ƠN Luận văn này được thực hiện tại Trường Đại học khoa học tự nhiên- Đại học Quốc gia Hà nội và hoàn thành dưới sự hướng dẫn của TS.Lê Huy Tiễn. Em xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc chân thành vàtới thầy giáo hướng dẫn khoa học của mình, người đã đặt vấn đề nghiêncứu, dành nhiều tâm huyết, thời gian hướng dẫn và tận tình giải đápnhững thắc mắc của em trong suốt quá trình làm luận văn. Em cũng xin trân trọng cảm ơn Ban Giám hiệu Trường Đại họckhoa học tự nhiên, Ban Chủ nhiệm Khoa Toán-Cơ-Tin học, Bộ mônToán giải tích, cùng các giảng viên đã tham gia giảng dạy, đã tạo mọiđiều kiện tốt nhất để em học tập và nghiên cứu. Đồng thời, em cũngxin gửi lời cảm ơn tới tập thể lớp cao học Toán học (khóa 2016-2018),cảm ơn gia đình bạn bè đã động viên và giúp đỡ em rất nhiều trong quátrình học tập. Hà Nội, ngày 15 tháng 11 năm 2019. Học viên Nguyễn Hoàng Việt 1Mở đầu Lịch sử lý thuyết hệ động lực bắt đầu được biết đến bởi Issac-Newton,người mà đã mô tả các quy luật chuyển động và phát hiện ra lực hấp dẫn.Trong lý thuyết của Newton, các chuyển động trong một hệ động lực đượcmô tả bởi các hệ phương trình vi phân. Sau đó, cuối thế kỷ 19, Poincaréđã phát triển lý thuyết định tính phương trình vi phân. Poincaré nghiêncứu tính chất nghiệm thay vì tìm được công thức giải tích của nghiệm. Nhiều năm sau đó, các nhà khoa học đã phát triển các lý thuyếtnghiên cứu định tính hệ động lực trong cơ sở lý thuyết tôpô. Trong đó,việc nghiên cứu đồng phôi giãn và bóng là một chủ đề lớn trong nhữngnăm qua. Tính chất bóng xuất phát từ việc giải số phương trình vi phân.Tính chất bóng có nghĩa là tồn tại một quỹ đạo gần một giả quỹ đạo chotrước. Tính bóng được nghiên cứu đầu tiên bởi Anosov, Bowen, Sinai, cáctác giả này đã cho rằng nó liên quan đến bài toán ổn định toàn cục của hệđộng lực. Các tác giả này đều tiếp cận tính bóng bằng các phương pháphình học. Trong luận văn này, chúng tôi sẽ trình bày vấn đề “Về phân tíchphổ của hệ động lực tô-pô ”. Trong đó, chúng tôi sẽ trình bày chi tiếtvề đồng phôi không giãn và bóng có phân tích phổ. Nội dung luận vănđược chia làm 2 chương. Trong đó, • Chương 1: Kiến thức chuẩn bị. Trong chương này, chúng tôi sẽ trình bày các kiến thức đồng phôi giãn của một không gian mêtric tôpô và các tính chất liên quan, tính bóng của đồng phôi và đồng phôi Anosov tôpô. 1 • Chương 2: Phân tích phổ của hệ động lực tôpô. Các nội dung quan trọng và chứng minh chi tiết về phân tích phổ theo Smale và Bowen sẽ được trình bày.Tài liệu chính được tham khảo khảo trong khi hoàn thành luận văn này là[2]. Ngoài ra, chúng tôi cũng tham khảo các tài liệu [1], [7]. 2Chương 1Kiến thức chuẩn bị Chương này sẽ trình bày một số kiến thức cơ bản về hệ động lực,ánh xạ liên tục và các tính chất của hệ Anosov và ánh xạ Anosov tôpô.Bên cạnh đó, chúng tôi cũng trình bày một số vấn đề về đồng phôi giãn vàtính chất giả quỹ đạo. Các tài liệu chính được tham khảo cho kiến thức ởchương này là [2].1.1 Tính giãn đồng phôi Trong mục này, chúng tôi sẽ trình bày định nghĩa, tính chất của mộtđồng phôi giãn. Từ đó dẫn đến tính chất của ánh xạ giãn dương, ánh xạc-giãn trên một không gian mêtric compact. Trong phần này, ta luôn giảthiết không gian pha của một hệ động lực là một đa tạp khả vi.Định nghĩa 1.1.1. Toàn ánh liên tục f : M → N của một không gianmêtric được gọi là một đồng phôi nếu nó là một đơn ánh và ánh xạ ngượcf −1 : N → M cũng liên tục. Không gian mêtric M được gọi là một đa tạp tôpô n-chiều nếu tồntại tập con mở Ui ⊂ M và đồng phôi αi biến tương ứng 1-1 mỗi tập Uithành một tập con mở của không gian Rn , sao cho {Ui } phủ M .Định nghĩa 1.1.2. Cho X là không gian mêtric với mêtric d. Đồng phôif : X → X được gọi là đồng phôi giãn nếu tồn tại hằng số e > 0 sao cho 3với x 6= y , x, y ∈ X ta có d(f n (x), f n (y)) > e,với n là số nguyên. Hằng số e ở đây được gọi là hằng số giãn của f . Hơnnữa, tín ...