Luận văn Thạc sĩ ngành Phương pháp toán sơ cấp: Phương pháp quy nạp với các bài toán phổ thông

Luận văn nhằm đưa ra cái nhìn tổng quan về phương pháp quy nạp toán học, từ nguyên lý và các hình thức của phương pháp đến những bài tập áp dụng trong các phân môn khác nhau. Hệ thống các bài tập được đưa ra phong phú. Tác giả đã sưu tầm một số đề thi Olympic toán các quốc gia và quốc tế giải được bằng phương pháp này.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Luận văn Thạc sĩ ngành Phương pháp toán sơ cấp: Phương pháp quy nạp với các bài toán phổ thông ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGUYỄN THỊ MỸ LỆPHƯƠNG PHÁP QUY NẠP VỚI CÁC BÀI TOÁN PHỔ THÔNG LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC HÀ NỘI - NĂM 2015 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGUYỄN THỊ MỸ LỆPHƯƠNG PHÁP QUY NẠP VỚI CÁC BÀI TOÁN PHỔ THÔNG Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp Mã số: 60.46.01.13 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS.TS. ĐẶNG HUY RUẬN Hà Nội - Năm 2015Mục lụcMở đầu 31 Kiến thức cơ bản về phương pháp quy nạp toán học 6 1.1 Nguồn gốc của phương pháp quy nạp toán học . . . . . . 6 1.2 Quy nạp và quy nạp toán học . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3 Giới thiệu phương pháp quy nạp toán học . . . . . . . . 12 1.3.1 Nguyên lí quy nạp toán học . . . . . . . . . . . . 13 1.3.2 Phương pháp quy nạp toán học . . . . . . . . . . 15 1.3.3 Các ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.4 Một số hình thức của phương pháp quy nạp toán học . . 22 1.4.1 Hình thức quy nạp chuẩn tắc . . . . . . . . . . . 22 1.4.2 Hình thức quy nạp nhảy bước . . . . . . . . . . . 26 1.4.3 Hình thức quy nạp kép . . . . . . . . . . . . . . . 312 Ứng dụng phương pháp quy nạp toán học trong giải toán 35 2.1 Phương pháp quy nạp toán học trong các bài toán số học, đại số, giải tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.1.1 Một số bài toán chia hết và chia có dư. . . . . . . 35 2.1.2 Một số bài toán về dãy số . . . . . . . . . . . . . 41 2.1.3 Một số bài toán về tính tổng và chứng minh đẳng thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 2.1.4 Một số bài toán chứng minh bất đẳng thức . . . . 61 2.2 Phương pháp quy nạp toán học trong các bài toán hình học 70 2.2.1 Tính toán bằng quy nạp . . . . . . . . . . . . . . 70 2.2.2 Chứng minh bằng quy nạp . . . . . . . . . . . . . 76 1 2.2.3 Dựng hình bằng quy nạp . . . . . . . . . . . . . . 82 2.2.4 Quy nạp với bài toán quỹ tích . . . . . . . . . . . 85 2.3 Phương pháp quy nạp toán học trong các bài toán rời rạc khác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 893 Một số đề thi tham khảo 101 3.1 Đề thi Olympic toán học quốc tế . . . . . . . . . . . . . 101 3.2 Đề thi vô địch các nước và khu vực . . . . . . . . . . . . 103 2Mở đầu Nhà toán học vĩ đại Euclid đã viết Trong thực tế, nhiều tính chấtcủa các số đã biết đều được tìm ra bằng phép quy nạp và được tìm thấyrất lâu trước khi sự đúng đắn của chúng được chứng minh chặt chẽ. Cũngcó rất nhiều tính chất quen thuộc với chúng ta nhưng hiện thời chúngta còn chưa chứng minh được. Chỉ có con đường quan sát và tư duy quynạp mới có thể dẫn chúng ta đến chân lý. Câu nói này đã phần nào lộttả được tầm quan trọng của phép quy nạp trong cuộc sống, khoa học vàtoán học. Tuy nhiên, quá trình quy nạp là quá trình đi từ tính chấtcủa một số cá thể suy ra tính chất của tập thể nên không phải lúc nàocũng đúng. Phép suy luận này chỉ đúng khi thỏa mãn những điều kiệnnhất định. Trong toán học cũng vậy, quá trình suy luận này chỉ đúngkhi nó thỏa mãn nguyên lý quy nạp. Trong toán học có nhiều bài toán nếu chúng ta giải hay chứng minhtheo phương pháp thông thường thì rất khó khăn và phức tạp, khi đórất có thể phương pháp quy nạp toán học lại là công cụ đắc lực giúpchúng ta giải bài toán đó. Trong chương trình toán học phổ thông, phương pháp quy nạp đãđược đề cập đến ở lớp 11, nhưng phương pháp này mới được đề cậptrong một phạm vi hạn chế, chưa mô tả được một cách hệ thống, chưanêu rõ được ứng dụng của phương pháp này trong Số học, Đại số, Hìnhhọc,.... Từ niềm yêu thích môn Toán nói chung và phương pháp quy nạpnói riêng, cùng mong muốn nghiên cứu phương pháp này một cách sâuhơn và hệ thống, mong muốn được tích lũy kiến thức toán học nhiềuhơn, có chuyên môn vững vàng hơn, tác giả đã lựa chọn đề tài 3 Phương pháp quy nạp với các bài toán phổ thông Cuốn luận văn này nhằm đưa ra cái nhìn tổng quan về phươngpháp quy nạp toán học, từ nguyên lý và các hình thức của phương phápđến những bài tập áp dụng trong các phân môn khác nhau. Hệ thốngcác bài tập được đưa ra phong phú. Tác giả đã sưu tầm một số đề thiOlympic toán các quốc gia và quốc tế giải được bằng ...