Luận văn Thạc sĩ Toán Giải tích: Về một số phương pháp hiệu chỉnh bài toán Cauchy của phương trình elliptic

Luận văn này trình bày một phương pháp hiệu chỉnh lặp đối với bài toán Cauchy của phương trình elliptic. Đây là một vấn đề được nhiều nhà toán học quan tâm ở cả phương diện lý thuyết và thực hành, có ứng dụng nhiều trong thực tế.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Luận văn Thạc sĩ Toán Giải tích: Về một số phương pháp hiệu chỉnh bài toán Cauchy của phương trình ellipticĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘITRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊNĐỖ THỊ HẰNGVỀ MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP HIỆU CHỈNH BÀITOÁN CAUCHY CỦA PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTICLUẬN VĂN THẠC SĨ: NGÀNH TOÁN GIẢI TÍCHHÀ NỘI, 2017ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘITRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊNĐỖ THỊ HẰNGVỀ MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP HIỆU CHỈNH BÀITOÁN CAUCHY CỦA PHƯƠNG TRÌNH ELIPTICLUẬN VĂN THẠC SĨChuyên ngành: Toán Giải tíchMã số: 60460102Người hướng dẫn khoa học:TS. DƯ ĐỨC THẮNGHÀ NỘI, 20173Mục lụcMở đầu11 Cơ sở toán học21.1Khái niệm, tính chất, chuẩn và nửa chuẩn của một số khônggian. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .21.1.1Không gian Sobolev và Hilbert (H 1 và H 1/2 ) . . . .31.1.2Chuẩn trong không gian Sobolev . . . . . . . . . . .31.2Tìm hiểu về bài toán đặt không chỉnh . . . . . . . . . . . .41.3Phương pháp hiệu chỉnh lặp Richardson . . . . . . . . . . .72 Hiệu chỉnh bài toán hoàn thiện dữ liệu bằng phương pháplặp Richardson122.1Đặt bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.2Công thức biến phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.3Phương pháp Richardson tiền điều kiện . . . . . . . . . . . 192.3.12.3.22.4Một số kết quả kỹ thuật. . . . . . . . . . . . . . . 19Liên hệ với phương pháp KMF . . . . . . . . . . . . 22Sự hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.4.1Quy tắc dừng tiên nghiệm . . . . . . . . . . . . . . 26Kết luận và phương hướng nghiên cứu31Tài liệu tham khảo321MỞ ĐẦULuận văn này nhằm trình bày một phương pháp hiệu chỉnh lặp đối với bàitoán Cauchy của phương trình elliptic. Đây là một vấn đề được nhiều nhàtoán học quan tâm ở cả phương diện lý thuyết và thực hành, có ứng dụngnhiều trong thực tế.Trong chương 1, chúng tôi trình bày một số cơ sở toán học cần thiếtcho việc nghiên cứu bài toán Cauchy và một số phương pháp hiệu chỉnhcủa phương trình elliptic bằng phương pháp biến phân. Chúng tôi nhắc lạivắn tắt về các không gian định chuẩn và không gian hàm. Các khái niệmvề bài toán Cauchy và biểu thức biến phân của nó được nêu lại. Một sốphương pháp hiệu chỉnh cho lớp các bài toán này cũng được nêu ra.Ở chương 2, chúng tôi giới thiệu bài toán Cauchy của phương trìnhelliptic và một ứng dụng của nó là bài toán hoàn thiện dữ liệu. Chúng tôiđưa ra mô hình hiệu chỉnh lặp bài toán và các ước lượng tiên nghiệm vàhậu nghiệm.Phần kết thúc của luận văn là Kết luận và Tài liệu tham khảo.Qua đây tác giả chân thành bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắctới Thầy hướng dẫn TS. Dư Đức Thắng, người đã giúp đỡ, chỉ bảo tậntình tác giả trong suốt quá trình nghiên cứu và hoàn thành luận văn này.Tác giả cũng xin chân thành cảm ơn Ban lãnh đạo Trường Đại họcKhoa học Tự nhiên, Phòng sau đại học, các thầy cô giáo cùng toàn thểcán bộ, công nhân viên Khoa Toán- Cơ- Tin học đã giảng dạy và tạo mọiđiều kiện thuận lợi cho tác giả trong suốt thời gian học tập tại trường.Bên cạnh đó, tác giả cũng rất mong nhận được những ý kiến đóng góp,phê bình của thầy cô và các bạn cho bản luận văn này.2Chương 1Cơ sở toán học1.1Khái niệm, tính chất, chuẩn và nửa chuẩn củamột số không gian.Phần này, chúng tôi giới thiệu một số không gian tuyến tính định chuẩnthường dùng trong các phần sau. Nhắc lại rằng không gian Banach làkhông gian tuyến tính định chuẩn đầy đủ, tức là nó đảm bảo cho mọi dãyCauchy đều hội tụ. Không gian tiền Hilbert là không gian tuyến tính cótích vô hướng. Không gian Hilbert là không gian Banach có tích vô hướng.Đương nhiên mọi không gian tiền Hilbert đều là không gian định chuẩnvới chuẩn sinh bởi tích vô hướng.Ví dụ về một số không gian tuyến tính định chuẩn thường gặp:• Không gian các hàm Lp [a, b] với phần tử là các hàm khả tích x(s) cóchuẩn được xác định như sau1/pbp|x(s)| dsx =.a• Không gian C[a, b], a, b ∈ R gồm các hàm x(s) liên tục trên [a, b] vàx = max |x(s)|.s∈[a,b]