Luận văn Thạc sĩ Toán học: Bài toán Sylvester và bài toán Fermat - Torricelli cho các hình cầu Euclid

Luận văn trình bày một số kiến thức cơ bản về hàm lồi, dưới vi phân hàm lồi và các kết quả về sự tồn tại duy nhất nghiệm, điều kiện tối ưu và cách giải cho bài toán Sylvester và bài toán Fermat – Torricelli của N.M.Nam, N.Hoang và N.T. An đăng trên tạp chí J. Optim. Theory Appl. 160 (2014) bằng phương pháp giải tích lồi. Mời các bạn cùng tham khảo.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Luận văn Thạc sĩ Toán học: Bài toán Sylvester và bài toán Fermat - Torricelli cho các hình cầu EuclidBỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC THĂNG LONG-----------------------------------------HOÀNG THỊ THÙY LINHBÀI TOÁN SYLVESTER VÀ BÀI TOÁNFERMAT – TORRICELLI CHOCÁC HÌNH CẦU EUCLIDLUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌCHà Nội - Năm 2016BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC THĂNG LONG-----------------------------------------HOÀNG THỊ THÙY LINHBÀI TOÁN SYLVESTER VÀ BÀI TOÁN FERMAT–TORRICELLI CHO CÁC HÌNH CẦU EUCLIDLUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌCCHUYÊN NGÀNH : PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤPMÃ SỐ : 60 46 01 13NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌCPGS. TS. ĐỖ VĂN LƯUHà Nội – Năm 2016Thang Long University LibraryLời cảm ơnTrước tiên, em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc nhất tớiPGS.TS. ĐỗVăn Lưu – Người Thầy đã luôn giúp đỡ và hướng dẫn em trongsuốt học tập và làm luận văn này.Em xin cảm ơn tới trường Đại học Thăng Long Hà Nội. Em xin cảm ơntới các Giáo sư, Tiến sỹ và các Thầy, cô giáo trong bộ môn Toán đã giảng dạycho em những kiến thức cơ bản, nền tảng quý báu trong thời gian học cao học.Em xin cảm ơn phòng Quản lý Sau đại học đã tạo điều kiện thuận lợiđể em hoàn thành khóa luận này.Cảm ơn các bạn trong lớp cao học Toán K3 Đại học Thăng Long,chuyên ngành Phương pháp toán sơ cấp, đã luôn thân thiện và nhiệt tìnhgiúp đỡ tôi trong thời gian học tập vừa qua.Tôi cảm ơn những người thân yêu trong gia đình và các bạn bè luônủng hộ, động viên và là chỗ dựa tinh thần vững chắc trong suốt quá trình họctập và thời gian làm luận văn.Tác giảHoàng Thị Thùy LinhMỤC LỤCTrangMở đầu......................................................................................................1Chương 1: CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ HÀM LỒI VÀ DƯỚIVI PHÂN HÀM LỒI1.1.Tập lồi và nón lồi.....................................................................31.1.1. Tập lồi......................................................................................31.1.2. Nón lồi.....................................................................................41.2.Hàm lồi.....................................................................................81.2.1. Hàm lồi.....................................................................................81.2.2. Các phép toán về hàm lồi.......................................................141.3.Dưới vi phân hàm lồi.............................................................171.4.Dưới vi phân hàm max..........................................................23Chương 2: BÀI TOÁN SYLVESTER VÀ BÀI TOÁN FERMAT TORRICELLI CHO HÌNH CẦU EUCLID2.1.Khái niệm và định nghĩa.......................................................252.2.Bài toán Sylvester cho hình cầu Euclid...........................262.2.1. Sự tồn tại, duy nhất nghiệm và điều kiện tối ưu..............262.2.2. Bài toán Sylester suy rộng cho ba hình cầu....................322.3.Bài toán Fermat – Torricelli cho hình cầu Euclid.............492.3.1. Sự tồn tại và duy nhất nghiệm của nghiệm tối ưu............492.3.2. Cấu trúc nghiệm...............................................................56KẾT LUẬN.......................................................................................63TÀI LIỆU THAM KHẢO......................................................................64Thang Long University LibraryMỞ ĐẦU1. Lý do chọn đề tàiGiải tích lồi cho ta một lý thuyết phong phú và đẹp đẽ về hàm lồivà ứng dụng trong tối ưu hóa với nhiều kết quả nổi tiếng chẳng hạn như:Bất đẳng thức Jensen, Định lý Fenchel – Moreau về hàm liên hợp, Địnhlý Moreau – Rockafellar về dưới vi phân hàm lồi, Định lý Kuhn – Tuckercho bài toán tối ưu lồi có ràng buộc,…Có thể nói tập lồi, hàm lồi các đốitượng đẹp trong tối ưu hóa.Với các bài toán lồi ta có các điều kiện đặctrưng cho nghiệm của bài toán đó dưới ngôn ngữ dưới vi phân của hàmlồi.Trong toán sơ cấp nhiều bài toán được phát biểu với các hàm lồi.Với các bài toán cực trị, hàm lồi đóng một vai trò rất quan trọng. Cực trịđịa phương của hàm lồi trên miền lồi cũng là cực tiểu toàn cục, cực đại củamột hàm lồi trên một đa giác lồi đạt tại một trong các đỉnh của đa giác đó.Nhiều bài toán sơ cấp hay được phát biểu theo hướng này. Bài toánSylvester cho các hình cầu Euclid được phát biểu như sau: “ Cho hai họhữu hạn các hình cầu Euclid. Tìm một hình cầu Euclid nhỏ nhất chứa cáchình cầu của họ thứ nhất và cắt tất cả các hình cầu của họ thứ hai”. Bàitoán Fermat – Torricelli cho các hình cầu Euclid được phát biểu như sau: “Cho hai họ các hình cầu Euclid. Hãy tìm một điểm làm cực tiểu tổngkhoảng cách xa nhất đến các hình cầu của họ thứ nhất và khoảng cách gầnnhất đến các hình cầu của họ thứ hai”. Các bài toán đó được nghiên cứubằng công cụ giải tích lồi trong [3]. Chính vì vậy, tôi chọn đề tài “BÀITOÁN SYLVESTER VÀ BÀI TOÁN FERMAT - TORRICELLICHO CÁC HÌNH CẦU EUCLID ”4 ...