Luận văn Thạc sĩ Toán học: Bất đẳng thức biến phân trên tập điểm bất động chung của một họ ánh xạ không giãn

Luận văn trình bày một số khái niệm và tính chất của không gian Banach; ánh xạ j-đơn điệu, ánh xạ không giãn và phương pháp lặp giải bất đẳng thức biến phân trên tập điểm bất động của một ánh xạ không giãn trong không gian Banach. Mời các bạn tham khảo!
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Luận văn Thạc sĩ Toán học: Bất đẳng thức biến phân trên tập điểm bất động chung của một họ ánh xạ không giãn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ------------------------------- LÊ NGỌC TÂNBẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN TRÊN TẬPĐIỂM BẤT ĐỘNG CHUNG CỦA MỘT HỌ ÁNH XẠ KHÔNG GIÃN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2018 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ------------------------------- LÊ NGỌC TÂNBẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN TRÊN TẬPĐIỂM BẤT ĐỘNG CHUNG CỦA MỘT HỌ ÁNH XẠ KHÔNG GIÃN Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số : 8460112 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS. Nguyễn Thị Thu Thủy THÁI NGUYÊN - 2018 iiiMục lụcBảng ký hiệu 1Mở đầu 21 Bất đẳng thức biến phân trên tập điểm bất động của một ánh xạ không giãn 4 1.1 Không gian Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.1 Không gian Banach lồi và trơn . . . . . . . . . . . . 5 1.1.2 Ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.3 Ánh xạ j-đơn điệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2 Phương pháp lặp giải bất đẳng thức biến phân trên tập điểm bất động của ánh xạ không giãn . . . . . . . . . . . . 11 1.2.1 Bất đẳng thức biến phân j-đơn điệu . . . . . . . . 11 1.2.2 Phương pháp lặp và sự hội tụ . . . . . . . . . . . . 122 Bất đẳng thức biến phân trên tập điểm bất động chung của một họ các ánh xạ không giãn 23 2.1 Bất đẳng thức biến phân trên tập điểm bất động chung của một họ ánh xạ không giãn . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.1.1 Bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.1.2 Một số bổ đề bổ trợ . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.2 Phương pháp lặp giải bất đẳng thức biến phân . . . . . . . 25 2.2.1 Mô tả phương pháp . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.2.2 Sự hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ivKết luận 30Tài liệu tham khảo 31 1Bảng ký hiệuH không gian Hilbert thựcE không gian BanachE∗ không gian đối ngẫu của ESE mặt cầu đơn vị của ER tập các số thựcR+ tập các số thực không âm∅ tập rỗng∀x với mọi xD(A) miền xác định của toán tử AR(A) miền ảnh của toán tử AA−1 toán tử ngược của toán tử AI toán tử đồng nhấtC[a, b] không gian các hàm liên tục trên đoạn [a, b]lp , 1 ≤ p < ∞ không gian các dãy số khả tổng bậc pLp [a, b], 1 ≤ p < ∞ không gian các hàm khả tích bậc p trên đoạn [a, b]lim supn→∞ xn giới hạn trên của dãy số {xn }lim inf n→∞ xn giới hạn dưới của dãy số {xn }xn → x0 dãy {xn } hội tụ mạnh về x0xn * x0 dãy {xn } hội tụ yếu về x0J ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắcj ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc đơn trịFix(T ) tập điểm bất động của ánh xạ T 2Mở đầu Bài toán bất đẳng thức biến phân đã được nghiên cứu và đưa ra lầnđầu tiên bởi Hartman và Stampacchia vào những năm đầu của thậpniên 60 thế kỉ XX. Mô hình bài toán bài toán bất đẳng thức biến phân,kí hiệu là VIP(A, C), có dạng Tìm x ∈ C sao cho: hA(x), y − xi ≥ 0 ∀y ∈ C, (1)trong đó C là tập con lồi đóng khác rỗng trong không gian Hilbert thựcH hoặc không gian Banach thực E và A : (D(A) = C) → C là ánh xạmục tiêu xác định trên C. Người ta thường nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của bất đẳng thức biếnphân và đề xuất các phương pháp lặp giải bất đẳng thức biến phân.Cho đến nay có nhiều phương pháp giải bất đẳng thức biến phân hữuhiệu được xây dựng, chẳng hạn phương pháp chiếu của Lions, phươngpháp nguyên lý bài toán phụ của Cohen, phương pháp điểm gần kề củaMartinet, phương pháp điểm gần kề quán tính của Alvarez và Attouchvà phương pháp hiệu chỉnh Browder–Tikhonov đối với bất đẳng thứcbiến phân đặt không chỉnh. Ở Việt Nam, bất đẳng thức biến phân cũnglà một chủ đề được nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu, như nhómnghiên cứu của GS. Nguyễn Bường (Viện Công nghệ Thông tin), GS.Nguyễn Đông Yên (Viện Toán học), GS. Lê Dũng Mưu (Trường Đại họcThăng Long, Hà Nội), GS. Phạm Kỳ Anh (Trường Đại học Khoa họctự nhiên - Đại học Quốc gia Hà Nội), GS. Phan ...