Luận văn Thạc sĩ Toán học: Biểu diễn đa thức dương dưới dạng tổng bình phương hai đa thức

Lagrange đã chỉ ra rằng, mọi số nguyên dương a đều luôn biểu diễn được thành tổng bình phương của bốn số nguyên. Vậy một câu hỏi tự nhiên sinh ra là: "Nếu thay số nguyên bằng đa thức, thì khi nào đa thức có thể biểu diễn thông qua một tổng của bình phương các đa thức khác? Nếu biểu diễn được thì sẽ cần tối thiểu bao nhiêu bình phương của các đa thức để tạo nên biểu diễn ấy? Điều kiện cần và đủ ở đây là gì?" Đã có rất nhiều công trình khoa học của các nhà toán học nổi tiếng nghiên cứu về vấn đề này, như Motzkin, Robinson, Choi, Lam,...; và cũng có rất nhiều ví dụ và phản ví dụ đã được đưa ra.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Luận văn Thạc sĩ Toán học: Biểu diễn đa thức dương dưới dạng tổng bình phương hai đa thức ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– CAO HÀ DƯƠNGBIỂU DIỄN ĐA THỨC DƯƠNG DƯỚI DẠNG TỔNG BÌNH PHƯƠNG HAI ĐA THỨC THÁI NGUYÊN, 10/2018 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– CAO HÀ DƯƠNGBIỂU DIỄN ĐA THỨC DƯƠNG DƯỚI DẠNG TỔNG BÌNH PHƯƠNG HAI ĐA THỨC Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp Mã số: 8460113 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN GS.TSKH. HÀ HUY KHOÁI THÁI NGUYÊN, 10/2018 iMục lụcLời cảm ơn 2Lời nói đầu 31 BÀI TOÁN HILBERT THỨ 17 5 1.1. Lịch sử vấn đề . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2. Một số kết quả về biểu diễn đa thức không âm . . . . . . . 6 1.2.1. Kết quả của Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2.2. Ví dụ của Motzkin . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.2.3. Ví dụ của Robinson . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.2.4. Ví dụ của Choi-Lam . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.2.5. Ví dụ của Lax-Lax và Schm¨ udgen . . . . . . . . . . 14 1.2.6. Chứng minh của Artin . . . . . . . . . . . . . . . . 152 MỘT SỐ MỞ RỘNG CỦA BÀI TOÁN HILBERT 17 29 2.1. Về không điểm của các đa thức nhiều biến không âm . . . 29 2.1.1. Không điểm của dạng psd . . . . . . . . . . . . . . 29 2.1.2. Phương pháp ma trận Gram . . . . . . . . . . . . . 30 2.1.3. Tổng quát hoá của M và S . . . . . . . . . . . . . . 31 2.1.4. Các ví dụ về dạng đối xứng . . . . . . . . . . . . . 32 2.2. Định lý Polya . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33Kết luận 36Tài liệu tham khảo 37 1Danh mục các ký hiệu, các chữviết tắt psd đa thức nửa xác định dương pd đa thức xác định dương sos đa thức biểu diễn được dưới dạng tổng của bình phương các đa thức AM − GM bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân GCD ước chung lớn nhất 2Lời cảm ơn Luận văn này được thực hiện tại Trường Đại học Khoa học - Đại họcThái Nguyên và hoàn thành dưới sự hướng dẫn của GS.TSKH Hà HuyKhoái. Thầy đã hướng dẫn và tạo điều kiện tốt nhất để cho tác giả hoànthành luận văn này. Nhân dịp này, tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơnchân thành và sâu sắc tới Thầy. Tác giả cũng xin được bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới các thầy giáo,cô giáo đã tham gia giảng dạy các lớp cao học Toán K10Q và K11D;trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên; khoa Toán - Tin đãtạo điều kiện thuận lợi nhất cho tác giả trong suốt quá trình học tập tạitrường. Cuối cùng, tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành tới tập thể lớpcao học Toán K10Q và K11D, gia đình, bạn bè, lãnh đạo đơn vị côngtác và đồng nghiệp đã giúp đỡ, động viên và tạo điều kiện tốt nhất chotác giả khi học tập và nghiên cứu. Mặc dù bản thân đã có nhiều cố gắng nhưng do điều kiện thời gianngắn, trình độ và kinh nghiệm nghiên cứu khoa học còn hạn chế, nênluận văn không tránh khỏi những thiếu sót. Tác giả rất mong nhận đượcnhững đóng góp của các thầy cô và các bạn đồng nghiệp để tác giả cóthể tiếp tục nghiên cứu tốt hơn. Thái Nguyên, tháng 10 năm 2018 Tác giả Cao Hà Dương 3Lời nói đầu Lagrange đã chỉ ra rằng, mọi số nguyên dương a đều luôn biểu diễnđược thành tổng bình phương của bốn số nguyên. Vậy một câu hỏi tự nhiên sinh ra là: Nếu thay số nguyên bằng đathức, thì khi nào đa thức có thể biểu diễn thông qua một tổng của bìnhphương các đa thức khác? Nếu biểu diễn được thì sẽ cần tối thiểu baonhiêu bình phương của các đa thức để tạo nên biểu diễn ấy? Điều kiệncần và đủ ở đây là gì? Đã có rất nhiều công trình khoa học của các nhà toán học nổi tiếngnghiên cứu về vấn đề này, như Motzkin, Robinson, Choi, Lam, ...; vàcũng có rất nhiều ví dụ và phản ví dụ đã được đưa ra. Tại Đại hội toán học quốc tế họp ở Paris năm 1900, Hilbert nêu ravấn đề trên như là Bài toán thứ 17 trong danh mục 23 bài toán nổi tiếngcủa ông. Bài toán trên đã được giải quyết bởi Artin, nhưng vẫn còn rất nhiềucách tiếp cận và mở rộng khác được đưa ra. Luận văn này có mục tiêu trình bày lịch sử vấn đề cùng một số kếtquả đã đạt được trong hướng nghiên cứu bài toán Hilbert 17 và nhữngmở rộng của nó. Mặc dù bài toán Hilbert 17 trước đó đã được đề cập đến trong nộidung Luận văn thạc sĩ toán học của Phan Văn Dân với tên Về định líHilbert thứ 17 vào năm 2017 tại trường Đại học Khoa học - Đại họcThái Nguyên; nhưng kết quả nghiên cứu của Tác giả trong luận vănnày đối với bài toán Hilbert 17 là khác biệt. Trong luận văn của mình,tác giả đã nêu ra các kết quả đã đạt được của các nhà toán học khinghiên cứu bài toán Hilbert 17 một cách chi tiết và cụ thể hơn, ngoài racòn có bổ sung thêm nhiều kết quả khác. Hơn nữa, chứng minh định lýArtin trong hai bản luận văn là khác nhau. Cuối cùng sự kh ...