Luận văn Thạc sĩ Toán học: Chiều, số bội và tập iđêan nguyên tố gắn kết của môđun đối đồng điều địa phương với giá cực đại

Cho (R, m) là vành Noether địa phương và M là R-môđun hữu hạn sinh. Chiều Krull, tập iđêan nguyên tố liên kết, đa thức Hilbert-Samuel và số bội là các bất biến quan trọng của M trong nghiên cứu môđun này. Chúng có mối liên hệ chặt chẽ với nhau. Nếu kí hiệu chiều của M là d thì từ một kết quả quen thuộc SuppR(M) = Var(AnnR M) và min Var(AnnR M) = min AssR(M) ta tính được d thông qua tập iđêan nguyên tố liên kết của M.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Luận văn Thạc sĩ Toán học: Chiều, số bội và tập iđêan nguyên tố gắn kết của môđun đối đồng điều địa phương với giá cực đại ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NGUYỄN THỊ THANH MAICHIỀU, SỐ BỘI VÀ TẬP IĐÊAN NGUYÊN TỐ GẮN KẾT CỦA MÔĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG VỚI GIÁ CỰC ĐẠI LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2019 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NGUYỄN THỊ THANH MAICHIỀU, SỐ BỘI VÀ TẬP IĐÊAN NGUYÊN TỐ GẮN KẾT CỦA MÔĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG VỚI GIÁ CỰC ĐẠI Ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ Mã số: 8.46.01.04 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: GS.TS Lê Thị Thanh Nhàn THÁI NGUYÊN - 2019 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sựhướng dẫn của GS. TS. Lê Thị Thanh Nhàn, các kết quả nghiên cứu là trungthực và chưa được công bố trong bất kỳ công trình nào khác. Thái Nguyên, tháng 5 năm 2019 Tác giả luận văn Nguyễn Thị Thanh Mai Xác nhận Xác nhậncủa khoa chuyên môn của người hướng dẫn khoa học GS. TS. Lê Thị Thanh Nhàn i LỜI CẢM ƠN Luận văn Chiều, số bội và iđêan nguyên tố gắn kết của môđun đốiđồng điều địa phương với giá cực đại được thực hiện tại Trường Đại học Sưphạm - Đại học Thái Nguyên và hoàn thành dưới sự hướng dẫn nhiệt tình,tận tụy của GS. TS. Lê Thị Thanh Nhàn. Tác giả xin bảy tỏ lòng biết ơnchân thành và sâu sắc tới người hướng dẫn khoa học của mình. Đồng thời,tác giả xin trân trọng cảm ơn tới TS. Trần Đỗ Minh Châu với sự giúp đỡcủa cô trong suốt quá trình thực hiện luận văn. Tác giả xin trân trọng cảm ơn Ban giám hiệu Trường Đại học Sư phạm- Đại học Thái nguyên, Ban chủ nhiệm Khoa Toán cùng các thầy cô khoaToán đã tham gia giảng dạy và tạo điều kiện tốt nhất để tác giả học tập vànghiên cứu. Nhân dịp này, tôi xin gửi lời cảm ơn tới gia đình và bạn bè đã độngviên giúp đỡ tôi rất nhiều trong quá trình học tập. iiMục lụcLời cam đoan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iLời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iiMục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iiiMở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1Chương 1. Iđêan nguyên tố gắn kết, chiều, số bội cho môđun Artin3 1.1. Tập các iđêan nguyên tố gắn kết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2. Chiều của môđun Artin. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.3. Số bội cho môđun Artin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14Chương 2. Môđun đối đồng điều địa phương với giá cực đại . 16 2.1. Tính Artin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.2. Chiều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.3. Tập iđêan nguyên tố gắn kết. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.4. Công thức bội liên kết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38KẾT LUẬN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45TÀI LIỆU THAM KHẢO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 iii MỞ ĐẦU Cho (R, m) là vành Noether địa phương và M là R-môđun hữu hạnsinh. Chiều Krull, tập iđêan nguyên tố liên kết, đa thức Hilbert-Samuel và sốbội là các bất biến quan trọng của M trong nghiên cứu môđun này. Chúngcó mối liên hệ chặt chẽ với nhau. Nếu kí hiệu chiều của M là d thì từ mộtkết quả quen thuộc SuppR (M ) = Var(AnnR M ) và min Var(AnnR M ) =min AssR (M ) ta tính được d thông qua tập iđêan nguyên tố liên kết của M.Hơn nữa, d cũng chính là bậc của đa thức Hilbert-Samuel. Số bội của Mtương ứng với một iđêan m-nguyên sơ q của R bằng tích của d! với hệ số caonhất của đa thức Hilbert-Samuel. Số bội còn được tính thông qua tập iđêannguyên tố liên kết nhờ công thức liên kết cho số bội. Đối với mỗi R-môđun Artin A, nhìn chung công thức SuppR (A) =Var(AnnR A) không còn đúng. Thêm vào đó SuppR (A), nếu khác rỗng chỉgồm iđêan cực đại. Vì thế chiều Krull và tập iđêan nguyên tố liên kết khôngcó ý nghĩa trong nghiên cứu cấu trúc của môđun Artin A. Năm 1971, D.Kirby [11] đã chỉ ra rằng nếu I là iđêan của R sao cho `(0 :A I) hữu hạn thì`(0 :A I n ) là một đa thức khi n đủ lớn. Ông gọi đa thức này là đa thức Hilbertcủa môđun Artin A vì vai trò của nó đối với A tương tự như vai trò của đathức Hilbert-Samuel đối với môđun hữu hạn sinh. Sau đó, R. N. Roberts [21]đã đưa ra khái niệm chiều Noether (lúc đầu ông gọi là chiều Krull nhưng kíhiệu là Kdim, chiều Noeth ...