Luận văn Thạc sĩ Toán học: Đa thức Lucas, đa thức Euler và số Lucas, số Euler

Dãy Fibonacci, dãy Lucas, hàm Euler là những vấn đề cơ bản của số học, và luôn là đối tượng được quan tâm nghiên cứu. Những vấn đề trên không chỉ là những vấn đề của các nhà nghiên cứu, mà nhiều nội dung đã được đưa vào chương trình toán của bậc THPT, đặc biệt là trong chương trình bồi dưỡng học sinh khá giỏi. Vì thế có thể nói rằng, tìm hiểu về dãy Fibonacci, dãy Lucas, hàm Euler cho ta cái nhìn sâu hơn về mối liên hệ giữa toán học hiện đại và toán học phổ thông.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Luận văn Thạc sĩ Toán học: Đa thức Lucas, đa thức Euler và số Lucas, số Euler ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC DƯƠNG MINH NGUYỆTĐA THỨC LUCAS, ĐA THỨC EULER VÀ SỐ LUCAS, SỐ EULER LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên, năm 2016 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC DƯƠNG MINH NGUYỆTĐA THỨC LUCAS, ĐA THỨC EULER VÀ SỐ LUCAS, SỐ EULER LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành : Phương pháp Toán sơ cấp Mã số : 60 46 01 13 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS. TSKH. HÀ HUY KHOÁI Thái Nguyên, năm 2016 iMục lụcMở đầu 11 Dãy hồi quy tuyến tính 3 1.1 Iđêan và đa thức đặc trưng tối thiểu . . . . . . . . . . . . . 3 1.2 Nghiệm của quan hệ hồi quy . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.3 Quan hệ hồi quy không thuần nhất . . . . . . . . . . . . . 10 1.4 Định lí Mahler-Lech . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 Số Euler và đa thức Lucas suy rộng 14 2.1 Hàm Euler và dãy Fibonacci . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.1.1 Hàm Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.1.2 Số Fibonacci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.2 Tính trù mật của φ(Fn )/Fn . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.3 Số Euler và đa thức Lucas suy rộng . . . . . . . . . . . . . 38Tài liệu tham khảo 42 1Mở đầu Dãy Fibonacci, dãy Lucas, hàm Euler là những vấn đề cơ bản của sốhọc, và luôn là đối tượng được quan tâm nghiên cứu. Những vấn đề trênkhông chỉ là những vấn đề của các nhà nghiên cứu, mà nhiều nội dung đãđược đưa vào chương trình toán của bậc THPT, đặc biệt là trong chươngtrình bồi dưỡng học sinh khá giỏi. Vì thế có thể nói rằng, tìm hiểu về dãyFibonacci, dãy Lucas, hàm Euler cho ta cái nhìn sâu hơn về mối liên hệgiữa toán học hiện đại và toán học phổ thông. Luận văn này có hai phần. Phần thứ nhất trình bày một cách tương đối hệ thống và dễ hiểu vềcác dãy hồi quy tuyến tính và phi tuyến; về dãy Fibonacci và dãy Lucas,cũng như về hàm Euler. Luận văn cũng giới thiệu về một kết quả sâu sắctrong lý thuyết dãy hồi quy, là định lý Mahler-Lech. Cho đến nay, chưa cóchứng minh nào của định lý này mà không dùng đến giải tích p-adic, lànội dung vượt ra ngoài khuôn khổ của luận văn. Vì thế luận văn chỉ giớihạn ở việc trình bày sơ lược (dựa trên bài viết của Terence Tao trên trangblog của ông). Phần thứ hai trình bày một kết quả gần đây (xem [2]) về tính trù mật φ(Fn )của dãy { }, trong đọạn [0, 1], trong đó {Fn } là dãy Fibonacci, φ(m) Fnlà hàm Euler. Đây là một mở rộng của kết quả cổ điển của Lucas, trongđó dãy Fibonacci được thay bởi dãy hồi quy đơn giản an = 2n − 1. Nhân dịp này tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới GS.TSKH Hà HuyKhoái, người đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tôi hoàn thành bản luận văn 2này. Tôi xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa Toán trường Đại họcKhoa học - Đại học Thái Nguyên cùng các thầy cô giáo đã tham gia giảngdạy khóa học. Xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè, đồng nghiệp vàcác thành viên lớp Cao học Toán K8A đã luôn quan tâm, động viên, giúpđỡ tôi trong suốt quá trình làm luận văn. Thái Nguyên, ngày 22 tháng 5 năm 2016 Tác giả Dương Minh Nguyệt 3Chương 1Dãy hồi quy tuyến tính1.1 Iđêan và đa thức đặc trưng tối thiểu Dãy số là một dãy gồm vô hạn các số, như 1, 2, 4, 8, 16, ... (1.1)Các số trong dãy số được gọi là các số hạng của dãy số, Ta viết dãy sốlà a1 , a2 , a3 , ...trong đó an là số hạng thứ n của dãy. Ví dụ, trong dãy số (1.1) ta cóa1 = 1, a2 = 2, a3 = 4, ... Kí hiệu {an } hoặc {an }∞n=1 viết gọn cho dãy a1 , a2 , a3 , ....Thỉnh thoảng, chỉ số của các số hạng sẽ được bắt đầu khác 1, ví dụ như{an }∞ n=0 nghĩa là a0 , a1 , a2 , ...(trong đó an là số hạng thứ n + 1 của dãy số). Dãy số có thể được xác định bằng công thức của an , nghĩa là an đượcbiểu thị bằng một hàm số của n. Ví dụ, dãy số (1.1) được xác định bằngcông thức an = 2n−1 . Có một cách khác để cho dãy số là liệt kê một vài số hạng đầu và mộtquy tắc để tính toán các số hạng còn lại của dãy. Ví dụ, dãy (1.1) có thểđược xác định bằng cách cho số hạng đầu a1 = 1 và quy tắc an+1 = 2an 4với những số nguyên n ≥ 1. K ...