Luận văn Thạc sĩ Toán học: Đặc trưng Euler và một số ứng dụng

Đặc trưng Euler (còn được gọi là bất biến Euler, công thức Euler, hoặc đặc trưng Euler-Poincaré ) là một bất biến tôpô, là số không đổi đặc trưng cho hình dạng hoặc cấu trúc của một không gian tôpô không phụ thuộc vào cách nó bị biến dạng. Đặc trưng Euler thường được ký hiệu là X. Mời các bạn cùng tham khảo.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Luận văn Thạc sĩ Toán học: Đặc trưng Euler và một số ứng dụng ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ------------------------------- TRẦN THỊ ÁNH DƢƠNG ĐẶC TRƢNG EULERVÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNGLUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2018 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ------------------------------- TRẦN THỊ ÁNH DƢƠNG ĐẶC TRƢNG EULERVÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNGChuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 8460113LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS. Tạ Duy Phượng THÁI NGUYÊN - 2018 1Mục lụcLời nói đầu 31 Một số kiến thức sơ lược về lý thuyết đồ thị 5 1.1. Định nghĩa đồ thị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.1. Định nghĩa 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.2. Định nghĩa 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.3. Định nghĩa 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.1.4. Định nghĩa 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2. Chu trình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.3. Một số dạng đồ thị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3.1. Đồ thị phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3.2. Đồ thị đối ngẫu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3.3. Đồ thị liên thông . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.3.4. Đơn đồ thị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.3.5. Đồ thị đầy đủ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.3.6. Đồ thị phân đôi đầy đủ . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.4. Cây . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 Một số cách chứng minh công thức đặc trưng Euler 14 2.1. Chứng minh dựa trên lý thuyết đồ thị . . . . . . . . . . . . 14 2.2. Chứng minh sử dụng phương pháp điện tích . . . . . . . . . 19 2.2.1. Điện tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.2.2. Điện tích đối ngẫu . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2 2.3. Chứng minh dựa trên phương pháp sử dụng góc . . . . . . . 21 2.3.1. Tổng của góc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.3.2. Góc hình cầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.4. Chứng minh của Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.5. Một số chứng minh khác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.5.1. Phương pháp loại bỏ tam giác . . . . . . . . . . . 30 2.5.2. Chu trình Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323 Một số ứng dụng và bài toán liên quan 35 3.1. Khối đa diện Platon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 3.2. Trái bóng đá và bài toán phủ mặt cầu . . . . . . . . . . . . 38 3.3. Đặc trưng Euler và một số ứng dụng trong lý thuyết đồ thị . 39 3.4. Định lí Pick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 3.5. Định lí Sylvester-Gallai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 3.6. Định lí về các đường thẳng đơn sắc . . . . . . . . . . . . . . 49 Kết luận 56 3Lời nói đầu Xét các khối đa diện đều sau Tên Đỉnh V Cạnh E Mặt F V −E+F Tứ diện 4 6 4 2 Hình lập phương 8 12 6 2 Bát diện 6 12 8 2 Thập nhị diện 20 30 12 2 Nhị thập diện 12 30 20 2 Hình 1 Ta nhận thấy V − E + F = 2 với tất cả năm khối đa diện trên. Số 2không đổi được gọi là đặc trưng Euler.Đặc trưng Euler, hay công thức V − E + F = 2 là một trong 17 phươngtrình làm thay đổi thế giới (xem [1]). Do tính bản chất và quan trọng củacông thức này, đặc trưng Euler có đến vài chục cách chứng minh (xem [5])và có nhiều ứng dụng (xem thí dụ, [6]).Đặc trưng Euler (còn được gọi là bất biến Euler, công thức Euler, hoặc đặctrưng Euler-Poincaré ) là một bất biến tôpô, là số không đổi đặc trưng chohình dạng hoặc cấu trúc của một không gian tôpô không phụ thuộc vàocách nó bị biến dạng. Đặc trưng Euler thường được ký hiệu là X .Đặc trưng Euler X (S) của một đa giác phẳng S được chia thành các tamgiác bằng số đỉnh trừ đi số cạnh cộng với số mặt của tam giác trong đa 4giác đó: X (S) = V − E + F.Bất kỳ đa diện lồi cũng có đặc trưng X = V − E + F = 2,trong đó V , E và F tương ứng là số đỉnh (góc), số cạnh và số mặt củakhối đa diện.Leonhard Euler, tên của ông được đặt cho khái niệm này, đã có các côngtrình nghiên cứu đầu tiên về đặc trưng này.Ta cũng có thể mở rộng đặc trưng Euler (tức công thức X = 2) cho hìnhcầu và áp dụng cho các khối đa diện cầu. Luận văn được chia làm ba chương.Chương 1. Một số kiến thức sơ lược về lý thuyết đồ thị.Chương 2. Một số cách chứng minh công thức đặc trưng Euler.Chương 3. Một số ứng dụng và bài toán liên quan. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc đến PGS. TS. Tạ DuyPhượng, người thầy đã định hướng chọn đề tài và tận tình hướng dẫn đểtôi có thể hoàn thành luận văn này.Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới các Thầy cô giáo thuộc khoaToán - Tin, Phòng Đào tạo trường Đại học Khoa học - Đại học TháiNguyên đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập tại trường.Tôi cũng xin bày tỏ lời cảm ơn sâu sắc đến trường trung học phổ thông LêChân đã quan tâm và tạo điều kiện giúp đỡ tôi trong ...