Luận văn Thạc sĩ Toán học: Giao thức trục giao và ứng dụng trong toán phổ thông

Lớp các hàm đa thức trực giao có một vị trí khá đặc biệt trong toán học, nó không chỉ là đối tượng nghiên cứu của Đại số cao cấp, của Giải tích mà còn được nghiên cứu trong Giải tích số. Vì đa thức trực giao là hệ đầy đủ trong không gian các hàm liên tục, cho nên nó là cơ sở trực chuẩn của không gian này. Mọi hàm liên tục đều có thể khai triển một cách duy nhất thành chuỗi Fourier theo hệ hàm trực giao.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Luận văn Thạc sĩ Toán học: Giao thức trục giao và ứng dụng trong toán phổ thông ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌCGIAO THỨC TRỤC GIAO VÀ ỨNG DỤNG TRONG TOÁN PHỔ THÔNG PHẠM VĂN CHINH THÁI NGUYÊN 2015 iMục lụcLời cảm ơn iiiLời cam đoan ivTóm tắt nội dung vDanh sách ký hiệu viMở đầu 11 Cơ sở lý thuyết 2 1.1 Một số kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.2 Không gian tuyến tính định chuẩn, không gian có tích vô hướng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.3 Không gian các hàm liên tục . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.3.1 Trực giao hóa Gram-Schmidt . . . . . . . . . . 7 1.3.2 Đa thức với hệ số thực . . . . . . . . . . . . . . 7 1.4 Đa thức trực giao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.4.1 Đa thức Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.4.2 Đa thức Chebyshev loại I . . . . . . . . . . . . 10 1.4.3 Đa thức Chebyshev loại II . . . . . . . . . . . . 10 1.4.4 Đa thức Hermite . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.4.5 Đa thức lượng giác . . . . . . . . . . . . . . . . 132 Giải một số bài toán 15 2.1 Giải một số bài toán cao cấp . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.2 Giải một số bài toán sơ cấp . . . . . . . . . . . . . . . 27 iiKết luận và đề nghị 34Tài liệu tham khảo 35 iiiLời cảm ơn Trong suốt quá trình làm luận văn, tôi luôn nhận được sự hướngdẫn và giúp đỡ của TS.Nguyễn Văn Minh. Thầy đã giành nhiều thờigian chỉ bảo rất tận tình hướng dẫn và giải đáp các thắc mắc của tôitrong suốt quá trình làm luận văn. Tôi xin chân thành bày tỏ lòngbiết ơn sâu sắc đến Thầy. Tôi cũng xin cảm ơn các quý thầy, cô Khoa Toán-Tin và phòng Đàotạo của Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, viện Toánhọc, cũng như các thầy cô đã tham gia giảng dạy khóa cao học 2013- 2015, lời cảm ơn sâu sắc nhất về công lao dạy dỗ mang đến cho tôinhiều kiến thức bổ ích không chỉ trong khoa học mà còn cả trong cuộcsống. Tôi xin chân thành cảm ơn các bạn học viên lớp Cao học toánK7Q và bạn bè đồng môn đã giúp đỡ tác giả trong quá trình học tậptại trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên và trong quátrình hoàn thiện luận văn thạc sĩ. Cuối cùng, tôi xin cảm ơn gia đình. Nhờ có gia đình là chỗ dựa vữngchắc về vật chất và tinh thần cho tôi trong suốt quá trình học cao họcvà làm luận văn Thạc sĩ. Thái Nguyên, ngày 10 tháng 4 năm 2015 Học viên Phạm Văn Chinh ivLời cam đoan Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của TS. NguyễnVăn Minh. Tôi xin cam đoan các kết quả được trình bày trong luậnvăn là do tôi tự làm, không sao chép các luận văn đã được công bốtrước đó. Thái Nguyên, ngày 10 tháng 4 năm 2015 Học viên Phạm Văn Chinh v TÓM TẮT NỘI DUNG Ứng dụng Toán Cao cấp để nghiên cứu Toán sơ cấp là vấn đề ngườita vẫn làm. Vì Toán cao cấp ở mức độ khái quát cao hơn rất nhiềuso với Toán sơ cấp. Đề tài này cũng theo tư tưởng như đã nói ở trên,nhưng ở phạm vi hẹp hơn. Trong đề tài này chúng tôi xét một lớphàm tương đối đặc biệt, đó là Đa Thức Trực Giao. Ngoài đa thức theonghĩa thông thường, trong luận văn này chúng ta xét cả các đa thứclượng giác, vì đa thức lượng giác cũng là hệ hàm trực giao đầy đủ.Đa thức trực giao là đa thức có tính chất trực giao. Đa thức trực giaolà một hệ đầy đủ, theo nghĩa là mọi hàm liên tục đều có thể khaitriển thành chuỗi Fourier theo hệ hàm trực giao, còn gọi là khai triểnFourier mở rộng.Đa thức trực giao ngoài những tính chất chung của đa thức, nó còncó một số tính chất riêng, trong đó có những tính chất sơ cấp. Luậnvăn này của chúng tôi cố gắng khai thác tính sơ cấp trong hệ đa thứctrực giao. Trình bày và giải một số bài toán sơ cấp có liên quan tới đathực trực giao. viDanh sách ký hiệu Trong toàn luận văn, ta dùng những ký hiệu với các ý nghĩa xácđịnh trong bảng dưới đây:hu, vi Tích vô hướng của hai vector u và v||.|| Chuẩn của vectorC[a; b] Tập hợp các ...