Luận văn Thạc sĩ Toán học: Hàm tử Tor và hàm tử Ext trên miền Dedekind

Đề tài nghiên cứu miền Dedekind, hàm tử Tor và hàm tử Ext trên vành giao hoán có đơn vị và trên miền Dedekind, mục đích của luận văn là tìm hiểu sâu hơn, toàn diện và hệ thống hơn về hàm tử Tor và Ext trên một miền nguyên bất kỳ. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Luận văn Thạc sĩ Toán học: Hàm tử Tor và hàm tử Ext trên miền Dedekind BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Cao Văn Hoàng HÀM TỬ TOR VÀ HÀM TỬ EXT TRÊN MIỀN DEDEKIND LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành Phố HỒ CHÍ MINH - 2019 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Cao Văn Hoàng HÀM TỬ TOR VÀ HÀM TỬ EXT TRÊN MIỀN DEDEKINDChuyên ngành : Đại số và lý thuyết sốMã số : 8460104 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS. MỴ VINH QUANG Thành Phố Hồ Chí Minh - Năm 2019 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đây là luận văn do chính tôi thực hiện dưới sự hướng dẫncủa PGS.TS. Mỵ Vinh Quang. Nội dung của luận văn có tham khảo và sử dụngmột số kết quả, nội dung từ các sách được liệt kê trong danh mục tài liệu thamkhảo. Tôi xin chịu hoàn toàn trách nhiệm về luận văn của mình. LỜI CẢM ƠN Trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn, tôi đã nhận được sựgiúp đỡ cũng như hướng dẫn nhiệt tình của các thầy cô và các bạn cao học toánK28.Đầu tiên, tôi xin gửi lời biết ơn sâu sắc, chân thành đến PGS.TS Mỵ VinhQuang, người thầy tâm huyết trong giảng dạy và cũng là người tận tình, giúpđỡ, hướng dẫn tôi trong quá trình hoàn thành luận văn, có thể nói luận văn nàysẽ không được hoàn thành nếu không có sự chỉ bảo của thầy.Ngoài ra, với lòng kính trọng và biết ơn, tôi cũng xin được gởi lời cảm ơn chânthành đến:Các thầy cô khoa Toán của trường Đại học Sư phạm TP. Hồ Chí Minh cùngGS.TSKH. Nguyễn Tự Cường đã trực tiếp trang bị cho tôi kiến thức cơ bản làmnền tảng cho quá trình nghiên cứu và hoàn thành luận văn.Ban giám hiệu, phòng Đào tạo sau đại học, khoa Toán trường Đại học Sư phạmTP. Hồ Chí Minh đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập,hoàn thành và bảo vệ luận văn.Các thầy cô trong Hội đồng Bảo vệ luận văn thạc sĩ đã đọc, đóng góp ý kiến,nhận xét và đánh giá luận văn.Cuối cùng tôi xin dành lời cảm ơn đến gia đình đã luôn động viên, giúp đỡ tôitrong quá trình hoàn thành luận văn. Thành Phố Hồ Chí Minh, tháng 8 năm 2019 Cao Văn Hoàng MỤC LỤCLời cam đoanLời cảm ơnDanh mục các kí hiệuMở đầuChương 1 CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN 3 1.1 Hàm tử Hom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2 Hàm tử Tenxơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.3 Môđun tự do . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.4 Môđun xạ ảnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.5 Môđun nội xạ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.6 Hàm tử đồng điều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.7 Đồng luân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12Chương 2 HÀM TỬ TOR VÀ EXT TRÊN VÀNH GIAO HOÁN CÓ ĐƠN VỊ 14 2.1 Phép giải xạ ảnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.2 Xây dựng hàm tử Tor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.3 Hai dãy khớp đối với hàm tử Tor . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.4 Ứng dụng của dãy khớp đối với Tor . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.5 Xây dựng hàm tử Ext . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.6 Hai dãy khớp dài đối với Ext . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.7 Ứng dụng của dãy khớp đối với hàm tử Ext . . . . . . . . . . . . 32Chương 3 HÀM TỬ TOR VÀ EXT TRÊN MIỀN DEDEKIND 38 3.1 Môđun trên miền Dedekind . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 3.2 Hàm tử Tor trên miền Dedekind . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 3.3 Hàm tử Ext trên miền Dedekind . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46TÀI LIỆU THAM KHẢO DANH MỤC CÁC KÍ HIỆUHom(X, Y ) : Tập tất cả các đồng cấu từ X tới Y .M od : Tập các môđun trên vành.f ⊗g : Tích tenxơ của hai đồng cấu f và g .X ⊗Y : Tích tenxơ của hai môđun X và Y .Hom(f, g) : Hom của hai đồng cấu.X ⊕Y : Tổng trực tiếp trong của hai môđun X và Y .L6K : L là môđun con của K .f g : Hai ánh xạ dây chuyền f và g đồng luân.Hn (K) : môđun đồng điều chiều n của phức K .H n (L) : môđun đối đồng điều chiều n của phức L.T orn (X, Y ) : Tích xoắn n- chiều của các môđun X và Y .T orn (h, g) : Tích xoắn n- chiều của các đồng cấu h và g .Extn (X, Y ) : Tích mở rộng n- chiều của các môđun X và Y .Extn (h, g) : Tích mở rộng n- chiều của các đồng cấu h và g .X = hx1 , x2 , ..., xn i : X là môđun hữu hạn sinh được sinh bởi các phần tử x1 , x2 , ..., xn . 1 MỞ ĐẦU Hàm tử T or và hàm tử Ext cùng với các hàm tử Tenxơ và hàm tử Hom được xemnhư bốn cột trụ của Đại số đồng điều, chính vì vậy các hàm tử T or và Ext đóng vaitrò quan trọng trong nhiều chuyên ngành khác nhau của Toán học như Đại số đồngđiều, Đại số giao hoán, Hình học đại số, tô pô hình học... Chính bởi vậy, tôi chọn đềtài : Hàm tử T or và hàm tử Ext trên miền Dedekind làm đề tài cho luận văn Thạcsĩ Toán của mình với mong muốn được tìm hiểu sâu hơn, được tiếp cận nhiều hơn vớimột hướng nghiên cứu đang phát triển và có nhiều ứng dụng của Toán học hiện đại. Với đối tượng, phạm vi nghiên cứu là miền Dedekind, hàm tử T or và hàm tửExt trên vành giao hoán có đơn vị và trê ...