Luận văn Thạc sĩ Toán học: Hàm Zeta tôpô của kì dị đường cong phẳng phức không suy biến

Trong luận văn này, tác giả đề cập đến bài toán tính hàm zêta tôpô của các kì dị đường cong phẳng phức đặc biệt, xác định bởi các hàm số hai biến phức không suy biến đối với đa giác Newton của nó. Đây là luận văn đọc hiểu và trình bày lại một phần bài báo “Topological zeta functions and the monodromy conjecture for complex plane curves” của người hướng dẫn và Nguyễn Khánh Hưng, phát triển các ví dụ và trường hợp riêng từ bài báo.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Luận văn Thạc sĩ Toán học: Hàm Zeta tôpô của kì dị đường cong phẳng phức không suy biến „I HÅC QUÈC GIA H€ NËI TR×ÍNG „I HÅC KHOA HÅC TÜ NHI–N Vô Thà V¥n H€M ZETA TÆPÆCÕA Kœ DÀ ×ÍNG CONG PHNG PHÙC KHÆNG SUY BI˜N LUŠN V‹N TH„C Sž TON HÅC H Nëi - N«m 2020 „I HÅC QUÈC GIA H€ NËI TR×ÍNG „I HÅC KHOA HÅC TÜ NHI–N Vô Thà V¥n H€M ZETA TÆPÆCÕA Kœ DÀ ×ÍNG CONG PHNG PHÙC KHÆNG SUY BI˜N Chuy¶n ngnh : ¤i sè v Lþ thuy¸t sè M¢ sè : 8460101.04 LUŠN V‹N TH„C Sž TON HÅC NG×ÍI H×ÎNG DˆN KHOA HÅC TS. L– QUÞ TH×ÍNG H Nëi - N«m 2020Líi c£m ìn º hon thnh qu¡ tr¼nh nghi¶n cùu v hon thi»n luªn v«n ny, líi ¦uti¶n t¡c gi£ xin ch¥n thnh c£m ìn s¥u sc ¸n TS. L¶ Quþ Th÷íng, c¡n bëKhoa To¡n - Cì - Tin håc, Tr÷íng ¤i håc Khoa håc Tü nhi¶n - ¤i håc Quècgia H Nëi. Th¦y ¢ trüc ti¸p ch¿ b£o v h÷îng d¨n t¡c gi£ trong suèt qu¡tr¼nh nghi¶n cùu º t¡c gi£ hon thi»n lu¥n v«n ny. Ngoi ra t¡c gi£ xin ch¥nthnh c£m ìn c¡c th¦y cæ trong khoa To¡n - Cì - Tin håc ¢ t¤o i·u ki»n vâng gâp nhúng þ ki¸n quþ b¡u º t¡c gi£ hon thnh khâa håc v luªn v«nny. Cuèi còng t¡c gi£ xin ÷ñc gûi líi c£m ìn ch¥n thnh tîi gia ¼nh, b¤n b±,ng÷íi th¥n ¢ luæn ëng vi¶n, cê vô, t¤o måi i·u ki»n thuªn lñi cho t¡c gi£trong qu¡ tr¼nh håc tªp v hon thnh luªn v«n. H Nëi, th¡ng 2 n«m 2019 Håc vi¶n cao håc Vô Thà V¥n 1Möc löcLíi c£m ìn 1Líi nâi ¦u 31 Ki¸n thùc chu©n bà 6 1.1 Gi£i k¼ dà cho k¼ dà ÷íng cong ph¯ng . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2 C¡c ph²p bi¸n êi xuy¸n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.3 Gi£i k¼ dà khæng suy bi¸n b¬ng bi¸n êi xuy¸n . . . . . . . . . . 10 1.4 Hm zeta tæpæ cõa k¼ dà ÷íng cong ph¯ng . . . . . . . . . . . . 12 1.5 V½ dö: K¼ dà f (x, y) = y 2 − x3 t¤i O . . . . . . . . . . . . . . . . 132 Hm zeta tæpæ cõa k¼ dà ìn 17 2.1 K¼ dà ìn A2n−1 (n ≥ 2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.2 K¼ dà ìn A2n (n ≥ 1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203 Hm zeta tæpæ cõa k¼ dà khæng suy bi¸n câ ph¦n ch½nh tüa thu¦n nh§t 26 3.1 K¼ dà y a − xb vîi (a, b) = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 3.2 Bi¶n Newton ch¿ câ mët c¤nh compc . . . . . . . . . . . . . . . 304 K¼ dà ÷íng cong ph¯ng phùc khæng suy bi¸n 35 4.1 Ph²p gi£i xuy¸n cho k¼ dà khæng suy bi¸n . . . . . . . . . . . . . 35 4.2 Hm zeta tæpæ cõa k¼ dà khæng suy bi¸n . . . . . . . . . . . . . 38Ti li»u tham kh£o 42 2Líi nâi ¦u N«m 1992, Denef v Loeser ph¡t minh ra mët hm zeta mîi, ÷ñc gåi lhm zeta tæpæ, bði °c tr÷ng Euler-Poincar² tæpæ ÷ñc sû döng trong ànhngh¾a (xem [3]). Nâi mët c¡ch næm na, hm zeta tæpæ Zftop (s) cõa mët a thùcd bi¸n h» sè phùc f l mët hm húu t cõa s chùa nhúng thæng tin ÷ñc l§yra tø mët ph²p gi£i k¼ dà cõa a t¤p phùc X0 := {x ∈ Cd | f (x) = 0}. Chóng ta nhc l¤i ành ngh¾a cõa Zftop (s) nh÷ sau. Cho h : Y → (X, X0 )l mët ph²p gi£i k¼ dà cõa X0 . Khi â, theo ành ngh¾a cõa ph²p gi£i k¼ dà,h : Y → X l mët ¡nh x¤ ri¶ng theo tæpæ phùc (nghàch £nh cõa mët tªpcompc trong X l mët tªp compc trong Y ), Y l mët a t¤p phùc trìn, saocho ¡nh x¤ h¤n ch¸ h : Y h−1 (X0 ) → X X0l mët ¯ng c§u giúa c¡c a t¤p ¤i sè v sao cho h−1 (X0 ) l hñp cõa c¡cthnh ph¦n b§t kh£ quy m chóng ho°c khæng giao nhau ho°c ch¿ giao honh(giao nhau vîi bëi giao b¬ng 1 sau khi bä qua sè bëi tr¶n méi thnh ph¦n).C¡c thnh ph¦n b§t kh£ quy cõa h−1 (X0 ) câ hai lo¤i: thnh ph¦n c¡ bi»t (n¸uchóng ¯ng c§u vîi khæng gian x¤ £nh Pd−1 C ), thnh ph¦n thüc sü (n¸u chóng¯ng c§u vîi khæng gian affine AC d−1 ). Gåi {Ei | i ∈ S} (vîi S l mët tªp húuh¤n) l tªp t§t c£ c¡c thnh ph¦n b§t kh£ quy cõa h−1 (X0 ). Gåi Ni l sè bëicõa f ◦ h tr¶n Ei v νi − 1 l sè bëi cõa Jacobian of h tr¶n Ei . Vîi méi tªp con I cõa S , ta k½ hi»u EI cho tªp giao i∈I Ei v EI◦ cho tªp Thñp EI j6∈I Ej . Khi â Denef v Loeser [3] ành ngh¾a hm zeta tæpæ ...