Luận văn Thạc sĩ Toán học: Hệ phương trình toán tử - Tham số hiệu chỉnh và sự hội tụ

Mục đích của đề tài luận văn là trình bày phương pháp hiệu chỉnh và phương pháp hiệu chỉnh lặp giải hệ phương trình toán tử đặt không chỉnh trong không gian Banach, nêu cách chọn tham số hiệu chỉnh theo nguyên lý tựa độ lệch và đưa ra ví dụ minh họa.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Luận văn Thạc sĩ Toán học: Hệ phương trình toán tử - Tham số hiệu chỉnh và sự hội tụ ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ------------------------------- NGUYỄN THỊ PHƢỢNG HỆ PHƢƠNG TRÌNH TOÁN TỬ:THAM SỐ HIỆU CHỈNH VÀ SỰ HỘI TỤ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2017 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ------------------------------- NGUYỄN THỊ PHƢỢNG HỆ PHƢƠNG TRÌNH TOÁN TỬ:THAM SỐ HIỆU CHỈNH VÀ SỰ HỘI TỤ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số : 60 46 01 12 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. Lâm Thùy Dương THÁI NGUYÊN - 2017 iiiMục lụcBảng ký hiệu 1Mở đầu 2Chương 1. Hệ phương trình toán tử đặt không chỉnh trong không gian Banach 5 1.1 Phương trình toán tử đặt không chỉnh và phương pháp hiệu chỉnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.1 Một số tính chất hình học của không gian Banach và toán tử đơn điệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.2 Phương trình toán tử đặt không chỉnh và phương pháp hiệu chỉnh Browder–Tikhonov . . . . . . . . . . 10 1.2 Hệ phương trình toán tử trong không gian Banach . . . . . . 19 1.2.1 Phương trình toán tử và bài toán cực trị . . . . . . . 19 1.2.2 Hiệu chỉnh hệ phương trình toán tử đơn điệu . . . . . 20Chương 2. Nguyên lý tựa độ lệch chọn tham số hiệu chỉnh 25 2.1 Nguyên lý tựa độ lệch và tốc độ hội tụ . . . . . . . . . . . . 25 2.1.1 Chọn tham số hiệu chỉnh theo nguyên lý tựa độ lệch 25 2.1.2 Tốc độ hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh . . . . . . . . . 30 2.2 Phương pháp hiệu chỉnh lặp và ví dụ minh họa . . . . . . . 32 2.2.1 Phương pháp hiệu chỉnh lặp . . . . . . . . . . . . . . 32 2.2.2 Ví dụ số minh họa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ivKết luận 41Tài liệu tham khảo 42 1Bảng ký hiệuR tập hợp số thựcH không gian Hilbert thựcX không gian BanachX∗ không gian đối ngẫu của XLp [a, b], 1 < p < ∞ không gian các hàm khả tích bậc p trên đoạn [a, b]lp , 1 < p < ∞ không gian các dãy số khả tổng bậc p∅ tập rỗng∀x với mọi xD(A) miền xác định của toán tử AR(A) miền ảnh của toán tử AI toán tử đồng nhấtxn → x0 dãy {xn } hội tụ mạnh về x0xn * x0 dãy {xn } hội tụ yếu về x0Jq ánh xạ đối ngẫu tổng quátJ ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắcj ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc đơn trị 2Mở đầu Nhiều bài toán của thực tiễn khoa học, công nghệ và kinh tế . . . đượcđưa về việc giải hệ phương trình toán tử: Ai x = fi , i = 0, 1, . . . , N, (1)ở đây, Ai : X → Y là các toán tử từ không gian X vào không gian Y ,fi ∈ Y cho trước và N là một số dương cố định. Trong một thời gian dài người ta cho rằng mọi bài toán đặt ra đều giảiđược. Nhưng thực tế chỉ ra quan niệm đó là sai lầm. Trong tính toán cácbài toán thực tế bằng máy tính luôn diễn ra quá trình làm tròn số. Chínhsự làm tròn đó đã dẫn đến sự sai lệch đáng kể về nghiệm, tức là có mộtsự thay đổi nhỏ của các dữ kiện đầu vào có thể dẫn đến sự sai khác rấtlớn về nghiệm, thậm chí làm cho bài toán trở lên vô nghiệm hoặc vô định.Người ta nói những bài toán đó đặt không chỉnh. Bài toán tìm nghiệm của hệ phương trình toán tử (1), nói chung, cũnglà một bài toán đặt không chỉnh theo nghĩa một thay đổi nhỏ trong dữliệu của bài toán có thể dẫn đến một sai khác bất kỳ trong lời giải. Việcxây dựng phương pháp hữu hiệu giải bài toán này đã và đang được cácnhà toán học trong và ngoài nước quan tâm nghiên cứu. Mục đích của đề tài luận văn là trình bày phương pháp hiệu chỉnhvà phương pháp hiệu chỉnh lặp giải hệ phương trình toán tử đặt khôngchỉnh (1) trong không gian Banach, nêu cách chọn tham số hiệu chỉnh theonguyên lý tựa độ lệch và đưa ra ví dụ minh họa. Nội dung của đề tài được 3viết trên cơ sở bài báo [6] của Nguyễn Bường, Trần Thị Hương và NguyễnThị Thu Thủy công bố năm 2016 về những vấn đề sau: 1. Phương pháp hiệu chỉnh hệ phương trình toán tử đặt không chỉnh (1) trong không gian Banach; sự hội tụ của phương pháp; tham số hiệu c ...