Luận văn Thạc sĩ Toán học: Lý thuyết điểm bất động và ứng dụng

Luận văn Thạc sĩ Toán học: Lý thuyết điểm bất động và ứng dụng đề cập đến sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ co, ánh xạ không giãn, ánh xạ liên tục và ứng dụng của nguyên lý ánh xạ KKM; trình bày 2 ứng dụng của lý thuyết điểm bất động để chứng minh nguyên lý e-biến phân Ekelad và sự tồn tại nghiệm của bài toán tựa cân bằng tổng quát loại I.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Luận văn Thạc sĩ Toán học: Lý thuyết điểm bất động và ứng dụng M cl c Trang M c l c ......................................................................................... 1 L i nói đ u .................................................................................... 2 Chương 1 - Ki n th c cơ b n c n dùng 6 1.1 Không gian metric ................................................................... 6 1.2 Không gian đ nh chu n .......................................................... 10 1.3 Không gian Banach có c u trúc đ c bi t ................................ 11 1.4 Không gian tô pô tuy n tính l i đ a phương .......................... 14 K t lu n chương 1 ........................................................................ 16 Chương 2 - Đi m b t đ ng c a ánh x đơn tr 17 2.1 Đi m b t đ ng c a ánh x d ng co ........................................ 17 2.2 Đi m b t đ ng c a ánh x liên t c ......................................... 23 2.3 Đi m b t đ ng c a ánh x không giãn ................................... 36 K t lu n chương 2 ........................................................................ 40 Chương 3 - Đi m b t đ ng c a ánh x đa tr 41 3.1 Đ nh lý đi m b t đ ng c a ánh x đa tr co ............................ 41 3.2 Đ nh lý đi m b t đ ng Ky Fan ............................................... 51 K t lu n chương 3 ......................................................................... 61 Chương 4 - M t s ng d ng 62 4.1 ng d ng c a đ nh lý đi m b t đ ng Caristi .......................... 63 4.2 Bài toán t a cân b ng t ng quát lo i I .................................... 64 K t lu n chương 4 .......................................................................... 76 K t lu n chung ............................................................................... 77 Tài li u tham kh o 78 1 L i nói đ u Đ n nay, lý thuy t đi m b t đ ng đã ra đ i kho ng m t th k và phát tri n m nh m trong năm th p k g n đây. S ra đ i c a Nguyên lý đi m b t đ ng Brouwer (1912) và ánh x co Banach (1922) đã hình thành 2 hư ng chính c a lý thuy t đi m b t đ ng: s t n t i đi m b t đ ng c a ánh x liên t c và s t n t i đi m b t đ ng d ng co. Lý thuy t đi m b t đ ng có nhi u ng d ng như: ch ng minh s t n t i nghi m c a phương trình vi phân và phương trình tích phân (đ nh lý Picard và đ nh lý Peano), ch ng minh nguyên lý -bi n phân Ekeland, ch ng minh s t n t i đi m cân b ng trong mô hình kinh t , s t n t i nghi m t i ưu c a nhi u bài toán trong lý thuy t t i ưu... Nguyên lý ánh x co Banach (1922) là k t qu kh i đ u cho lý thuy t đi m b t đ ng d ng co, nhưng ph i đ n nh ng năm 60 c a th k 20 m i đư c phát tri n m nh m . Nó cho phép ta xây d ng thu t toán tìm nghi m c a bài toán. Các nhà toán h c đã m r ng Nguyên lý ánh x co Banach theo hai hư ng: đưa ra các khái ni m m i, ánh x đa tr và m r ng ánh x co đ n ánh x không giãn. Các k t qu tiêu bi u có th k đ n như: M.Edelstein, D.Boyd, A.Meir, E.Keeler cho ánh x đơn tr ; Caristi, S.Nadler, Ky Fan ...cho ánh x đa tr . M t quan h gi a ánh x co và ánh x không giãn là: ánh x không giãn có th đư c x p x b ng m t dãy ánh x co trên t p C l i, đóng, b ch n 1 1 trong không gian Banach, xác đ nh b i công th c Tn x = n x0 + (1 − n )T x, trong đó x0 là đi m c đ nh trong C. Vì v y, s t n t i đi m b t đ ng c a ánh x co kéo theo s t n t i đi m b t đ ng -x p x c a ánh x không giãn (x là đi m b t đ ng -x p x c a ánh x T n u d(x, T x) ≤ ) trên 2 t p l i, đóng, b ch n trong không gian Banach. Tuy nhiên, s t n t i đi m b t đ ng c a ánh x không giãn thư ng g n li n v i c u trúc hình h c c a không gian Banach. Lý thuy t đi m b t đ ng c a ánh x không giãn đư c m đ u b ng 3 công trình c a F.E.Browder, K.Goebel và W.A.Kirk vào năm 1965. K t qu quan tr ng c a W.A.Kirk đư c trình bày trong chương 2 c a lu n văn này. M r ng t nhiên cho lý thuy t đi m b t đ ng c a ánh x không giãn là nghiên c u s t n t i đi m b t đ ng c a ánh x Lipschitz v i h s l n hơn 1. Tuy nhiên, Kakutani đã ch ra ánh x Lipschitz v i h s đ g n 1 trong hình c u đóng đơn v c a không gian Hilbert không có đi m b t đ ng. Nguyên lý đi m b t đ ng Brouwer đư c m r ng theo 2 giai đo n. Ban đ u, ngư i ta m r ng k t qu này trên l p các không gian t ng quát như: đ nh lý Schauder (1930) trong không gian đ nh chu n, đ nh lý Tikhonov (1935) trong không gian l i đ a phương,... . Sau đó m r ng đ n ánh x đa tr n a liên t c trên, m đ u là k t qu c a Kakutani (1941), tiêu bi u là Ky Fan (1952). M t đi u thú v là vào năm 1929 ba nhà toán h c Knaster, Kuratowski và Mazurkiewicz d a trên k t qu t h p Sperner đã đưa ra b đ KKM. B đ này ch ra m t cách ch ng minh đơn gi n Nguyên lý đi m b t đ ng Brouwer mà trư c đó cách ch ng minh khá ph c t p d a vào công c tô pô và lý thuy t b c ánh x . Hơn n a b đ KKM tương đương v i Nguyên lý Brouwer. S xu t hi n b đ KKM m ra m t hư ng nghiên c u m i là Lý thuy t KKM. Ky Fan (1961) đã t o ra bư c ngo t trong s phát tri n lý thuy t KKM khi ông ch ng minh d ng tương t c a b đ KKM cho không gian vô ...