Luận văn Thạc sĩ Toán học: Miền ổn định của hệ động lực liên tục

Luận văn sẽ nhắc lại một số khái niệm về ổn định và các tính chất liên quan. Ngoài ra, các lý thuyết về hàm năng lượng, hàm Lyapunov cũng được đề cập đến. Các lý thuyết này được sử dụng để ước lượng miền ổn định của các hệ động lực phi tuyến có số chiều lớn. Mời các bạn tham khảo!
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Luận văn Thạc sĩ Toán học: Miền ổn định của hệ động lực liên tục ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘITRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ——————–o0o——————– PHẠM HỒNG QUÂN MIỀN ỔN ĐỊNHCỦA HỆ ĐỘNG LỰC LIÊN TỤC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - 2020 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ——————–o0o——————– PHẠM HỒNG QUÂN MIỀN ỔN ĐỊNHCỦA HỆ ĐỘNG LỰC LIÊN TỤC Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 84 60112. 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌCNgười hướng dẫn: PGS. TSKH Vũ Hoàng LinhChủ tịch hội đồng: GS. TS Nguyễn Hữu Dư Hà Nội - 2020Mục lụcLời cảm ơn iiiDanh sách hình vẽ ivMở đầu 1Chương 1. Kiến thức chuẩn bị 3 1.1 Hệ động lực phi tuyến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2 Tính ổn định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.3 Lý thuyết hàm Lyapunov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.4 Lý thuyết hàm năng lượng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.4.1 Hàm năng lượng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.4.2 Hàm năng lượng cho hệ động lực cấp hai . . . . . . . 18Chương 2. Miền ổn định và tựa ổn định của hệ động lực liên tục 23 2.1 Điểm cân bằng trên biên ổn định . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.2 Đặc trưng của biên ổn định . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.3 Miền tựa ổn định và đặc trưng của biên tựa ổn định . . . . . 35 2.4 Thuật toán xác định biên ổn định . . . . . . . . . . . . . . . 39Chương 3. Ước lượng miền ổn định của hệ động lực liên tục 46 3.1 Tập mức và đặc trưng của điểm cân bằng không ổn định gần nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 3.2 Miền tựa ổn định và hàm năng lượng . . . . . . . . . . . . . 50 3.3 Ước lượng miền ổn định theo hàm năng lượng địa phương . . 52 iKết luận 62Tài liệu tham khảo 62 ii Lời cảm ơn Luận văn này được thực hiện tại Trường Đại học Khoa học Tự nhiên,Đại học Quốc gia Hà Nội và được hoàn thành dưới sự hướng dẫn củaPGS. TSKH Vũ Hoàng Linh. Tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc vàchân thành tới thầy giáo hướng dẫn khoa học của mình, người đã đặt nhữngvấn đề nghiên cứu, dành nhiều tâm huyết, thời gian hướng dẫn và tận tìnhgiải đáp những thắc mắc của tôi trong suốt quá trình làm luận văn này. Tôi cũng xin trân trọng cảm ơn Ban Giám hiệu Trường Đại học Khoahọc Tự nhiên, Lãnh đạo Khoa Toán - Cơ - Tin học, Bộ môn Toán học tínhtoán và Toán ứng dụng, cùng các giảng viên đã tham gia giảng dạy, đã tạomọi điều kiện tốt nhất để tôi học tập và nghiên cứu. Đồng thời, tôi cũng xingửi lời cảm ơn tới tập thể lớp cao học Toán học (khóa 2018-2020), cảm ơn giađình, bạn bè và cơ quan chủ quản đã động viên, giúp đỡ tôi rất nhiều trongquá trình học tập tại đây. Hà Nội, ngày 10 tháng 11 năm 2020. Học viên Phạm Hồng Quân iiiDanh sách hình vẽ 1.1 Minh họa định nghĩa ổn định Lyapunov. . . . . . . . . . . . 5 1.2 Minh họa định nghĩa ổn định tiệm cận. . . . . . . . . . . . . 6 1.3 Mô tả đa tạp ổn định địa phương và đa tạp không ổn định địa phương của một điểm cân bằng. . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.4 Quan hệ giữa không gian con ổn định và không gian con không ổn định với đa tạp ổn định và đa tạp không ổn định tại điểm cân bằng hyperbolic. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.5 Đa tạp ổn định và không ổn định của (0, 0); các không gian riêng ổn định và không ổn định tương ứng. . . . . . . . . . . 12 1.6 Minh họa quan hệ giữa hình cầu mở và hình cầu đóng trong chứng minh Định lý 1.11. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.1 Giao giữa đa tạp không ổn định của x1 và đa tạp ổn định của x2 không thỏa mãn điều kiện hoành. . . . . . . . . . . . . . 29 2.2 Miền ổn định của điểm cân bằng ổn định (0, 0) trong Ví dụ 2.1 35 2.3 Minh họa sự khác nhau giữa miền ổn định và miền tựa ổn định. 38 2.4 Đường cong A và B là giới hạn miền ổn định xác định bởi các phương pháp khác. Đường cong C là biên ổn định thu được bằng phương pháp hiện tại. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 2.5 Bức tranh pha của hệ (2.3) và biên ổn định. . . . . . . . . . 43 2.6 Bức tranh pha của hệ động lực trong Ví dụ 2.3. Biên ổn định là đường in đậm màu đỏ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 3.1 Mối quan hệ giữa mặt mức năng lượng S(r) tại các giá trị mức khác nhau và miền ổn định A(xs ). . . . . . . . . . . . . 48 3.2 Cấu trúc mặt mức năng lượng khi tăng giá trị mức. . . . . . 51 iv3.3 Miền ổn định ước lượng theo mặt năng lượng hằng. . . . . . 553.4 Bức tranh pha của hệ trong Ví dụ 3.1. So sánh giữa biên ước lượng và biên ổn định định chính xác. . . . . . . . . . . . . . 563.5 Miền ổn định chính xác và miền ổn định ước lượng trong Ví dụ 3.2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 593.6 Miền ổn định ước lượng trong Ví dụ 3.3. . . . . . . . . . . . 603.7 Miền ổn định ước lượng và biên ổn định chính xác trong Ví dụ 3.3. . . . . . . . . ...