Luận văn Thạc sĩ Toán học: Một số bài toán cauchy chứa kì dị trong không gian banach

Luận văn trình bày về bài toán Cauchy trên thang không gian Banach được trình bày trong ba chương, tương ứng với việc sử dụng dãy lặp, Định lý ánh xạ co hoặc Định lý điểm bất động Schauder–Darbo– Sadovskii khi nghiên cứu bài toán. Mời các bạn tham khảo!
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Luận văn Thạc sĩ Toán học: Một số bài toán cauchy chứa kì dị trong không gian banach BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH ———————————- PHẠM VĂN HIỂN MỘT SỐ BÀI TOÁN CAUCHY CHỨA KÌ DỊ TRONG KHÔNG GIAN BANACHChuyên ngành: Toán Giải TíchMã số: 62 46 01 02 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌCHƯỚNG DẪN KHOA HỌCPGS.TS Nguyễn Bích Huy Thành phố Hồ Chí Minh - 2020LỜI CAM ĐOANTôi xin cam đoan đây là công trình khoa học của tôi dưới sự hướng dẫn củaPGS.TS Nguyễn Bích Huy. Các kết quả mới viết trong luận án là hoàn toàntrung thực và chưa được công bố bởi bất cứ tác giả nào khác. Nghiên cứu sinh Phạm Văn Hiển 1Mục lụcLỜI CAM ĐOAN 1MỞ ĐẦU 4 0.1 Sử dụng dãy lặp trong nghiên cứu bài toán . . . . . . . . . . . . . . 8 0.2 Sử dụng ánh xạ co trong nghiên cứu bài toán . . . . . . . . . . . . 10 0.3 Sử dụng tính compact trong nghiên cứu bài toán . . . . . . . . . . 11Chương 1 KIẾN THỨC CƠ SỞ 14 1.1 Các định lý điểm bất động . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.2 Không gian với thứ tự sinh bởi nón . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.3 Ánh xạ co theo họ nửa chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.4 Độ đo phi compact và ánh xạ cô đặc . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.5 Một số kiến thức khác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20Chương 2 SỬ DỤNG DÃY LẶP TRONG NGHIÊN CỨU BÀI TOÁN 22 2.1 Bài toán với kì dị yếu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.2 Phương trình bậc phân thứ với kì dị yếu . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.2.1 Các khái niệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.2.2 Sự tồn tại và duy nhất của nghiệm . . . . . . . . . . . . . . 29 2.3 Kỹ thuật lặp đơn điệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.4 Bài toán có chậm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38Chương 3 SỬ DỤNG ÁNH XẠ CO TRONG NGHIÊN CỨU BÀI TOÁN 42 3.1 Bài toán với điều kiện Lipschitz địa phương . . . . . . . . . . . . . 42 3.2 Bài toán có chậm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 3.2.1 Sự tồn tại duy nhất nghiệm của bài toán tổng quát . . . . . 46 3.2.2 Bài toán áp dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 3.3 Bài toán trên miền vô hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 2 3Chương 4 SỬ DỤNG TÍNH COMPACT TRONG NGHIÊN CỨU BÀI TOÁN 56 4.1 Xây dựng không gian Fréchet và độ đo phi compact cho bài toán . 57 4.2 Bài toán Cauchy không có chậm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 4.3 Giải bài toán có chậm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 4.4 Cấu trúc tập nghiệm của một lớp bài toán Cauchy trên thang không gian Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 4.4.1 Bài toán và không gian nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 4.4.2 Một số bổ đề cần thiết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 4.4.3 Cấu trúc tập nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77KẾT LUẬN 82Danh mục công trình của tác giả 84Tài liệu tham khảo 84MỞ ĐẦUCác quá trình trong Tự nhiên và Xã hội đều phụ thuộc vào thời gian t và thườngđược mô tả bởi phương trình vi phân với điều kiện đầu (hay bài toán Cauchy)như sau: u0 (t) = f (t, u(t)), t ∈ [0, T ), u(0) = u0 , (1)trong đó u : [0, T ] → X là ẩn hàm, f : [0, T ] × X → X là hàm đã biết, thỏa mãnmột số điều kiện và X là một không gian vectơ tôpô. Nghiệm của bài toán theonghĩa cổ điển (hay nghiệm mạnh) là hàm u ∈ C([0, T ], X) ∩ C 1 ((0, T ), X) thỏamãn (1).Ban đầu, bài toán (1) được nghiên cứu với X là một không gian hữu hạn chiều.Khi đó (1) là phương trình vi phân thường và Peano đã chứng minh sự tồn tạinghiệm khi f là hàm liên tục; Picard khẳng định sự tồn tại và duy nhất nghiệmkhi f liên tục và thỏa mãn điều kiện Lipschitz theo biến thứ hai, tức là kf (t, u) − f (t, v)kX ≤ Cku − vkX . (2)Các phương trình đạo hàm riêng dạng parabolic hoặc hyperbolic được đưa vềbài toán (1) với X là một không gian Banach hoặc không gian Fréchet (khi cầnxét sự tồn tại nghiệm trên khoản ...