Luận văn Thạc sĩ Toán học: Một số bài toán về điểm cố định

Trong chương trình môn Toán ở trường phổ thông, nội dung hình học luôn luôn có sức hút đặc biệt đối với các học sinh có lòng ham mê môn Toán bởi vì thông qua việc đi tìm lời giải cho các bài toán hình học, các em học sinh có cơ hội để phát triển tư duy, trí tưởng tượng và khả năng lập luận lôgic. Đề tài đi sâu tìm hiểu về các bài toán chứng minh hình học liên quan đến điểm cố định để có thể vận dụng trực tiếp vào công tác giảng dạy môn Toán ở nhà trường phổ thông.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Luận văn Thạc sĩ Toán học: Một số bài toán về điểm cố định ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ĐOÀN THỊ THU MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ ĐIỂM CỐ ĐỊNH LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên, 2015 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ĐOÀN THỊ THU MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ ĐIỂM CỐ ĐỊNH Chuyên ngành: PHƢƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số: 60.46.01.13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Giáo viên hƣớng dẫn: PGS.TS. TRỊNH THANH HẢI Thái Nguyên, 2015 1 MỤC LỤC Lời nói đầu 1 Chƣơng 1: Kiến thức chuẩn bị 3 1.1. Tính chất đồng quy của các đường trong tam giác 3 1.2. Định lý Ceva 4 1.3. Phương tích của một điểm đối với đường tròn 6 1.4. Phép vị tự 7 1.5. Tính chất cộng tuyến và tích vô hướng của vectơ 9 Chƣơng 2: Một số bài toán liên quan đến điểm cố định trong chƣơng trình hình học phổ thông 10 2.1. Một số bài toán liên quan đến đường thẳng 10 2.2. Một số bài toán liên quan đến đường tròn 27 Kết luận 47 Tài liệu tham khảo 48 2 LỜI NÓI ĐẦU Trong chương trình môn Toán ở trường phổ thông, nội dung hình học luôn luôn có sức hút đặc biệt đối với các học sinh có lòng ham mê môn Toán bởi vì thông qua việc đi tìm lời giải cho các bài toán hình học, các em học sinh có cơ hội để phát triển tư duy, trí tưởng tượng và khả năng lập luận lô gic… Trong các dạng bài tập hình học, các bài toán liên quan đến điểm cố định như: - Chứng minh các đường thẳng, các đường tròn… luôn đi qua một điểm cố định; - Xác định điểm cố định của một họ đường thẳng, họ các đường tròn; - Xác định điểm cố định mà quỹ tích luôn đi qua… phần nhiều là các bài tập khó dành cho học sinh khá, giỏi và thường chỉ xuất hiện trong các đề thi chọn học sinh giỏi các cấp. Với mong muốn đi sâu tìm hiểu về các bài toán chứng minh hình học liên quan đến điểm cố định để có thể vận dụng trực tiếp vào công tác giảng dạy môn Toán ở nhà trường phổ thông, Em chọn đề tài “Một số bài toán về điểm cố định” làm đề tài luận văn Thạc sĩ của mình. Luận văn có các nhiệm vụ cụ thể sau: 1) Sưu tầm các bài toán chứng minh hình học có liên quan đến điểm cố định trên tạp chí Toán học tuổi trẻ, các đề thi chọn học sinh giỏi Toán THCS, THPT và các sách chuyên khảo. 2) Phân loại tìm ra cơ sở của cách giải quyết bài toán thường được sử dụng trong phạm vi kiến thức phổ thông. 3) Đưa ra lời chứng minh chi tiết cho một số bài toán trên tạp chí Toán học tuổi trẻ và đề thi chọn học sinh giỏi Toán. Để hoàn thành luận văn này, Em đã nhận được sự quan tâm, tạo mọi điều kiện của Trường Đại học Khoa học mà trực tiếp là Khoa Toán - Tin. 3 Đặc biệt Em đã nhận được sự chỉ bảo, giúp đỡ từ tập thể các Thầy, Cô giáo tham gia giảng dạy các học phần trong suốt quá trình học tập cao học. Nhân dịp này, cho phép Em được bày tỏ lòng biết ơn đến các Thầy, Cô giáo đã tận tình giúp đỡ, chỉ bảo Em trong suốt thời gian học tập tại trường Đại học Khoa học. Do một số điều kiện chủ quan và khách quan, luận văn với chủ đề “Một số bài toán về điểm cố định” còn chưa thực sự hoàn thiện theo ý muốn. Em tha thiết mong các Thầy, Cô giáo chỉ bảo để Em hoàn thiện hơn nội dung của luận văn này. Em xin trân trọng cảm ơn. Học viên Đoàn Thị Thu 4 Chƣơng 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương này, em xin trình bày vắn tắt một số vấn đề phổ thông được trích dẫn từ các tài liệu [1], [2], [3]. 1.1. Tính chất đồng quy của các đƣờng trong tam giác Tính chất: Trong một tam giác, ba đường cao (trung tuyến, trung trực, phân giác) đồng quy tại một điểm. Ví dụ 1.1: Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O) và M là một điểm thay đổi trên cung nhỏ BC. N là điểm đối xứng của M qua trung điểm I của AB. Gọi H và K lần lượt là trực tâm của tam giác ABC và tam giác NAB. Giả sử NK cắt AB tại D, hạ KE vuông góc với BC tại E. Chứng minh rằng DE đi qua trung điểm J của HK. Lời giải: - Tứ giác ANBM là hình bình hành, suy ra BN//AM và AN//BM. - K là trực tâm  NAB nên BK  NA, AK  NB Suy ra: BK  BM và AK  AM Suy ra tứ giác nội tiếp BKAM. Vậy K thuộc đường tròn (O). Gọi S là điểm đối xứng của K qua E; R là điểm đối xứng của K qua D, ta có: BKC  BSC (do đối xứng); BKC  BAC (cùng chắn cung BM) nên BSC  BAC . Do BHC  BAC  1800. Suy ra tứ giác BHCS là tứ giác nội tiếp nên BHS  BCS  BCK 1 5 Tương tự tứ giác ABHR nội tiếp nên AHR  ABR  ABK  2 Từ (1) và (2) ta có: AHB  BHS  AHR  AHB  BCK  ABK  AHB  BCK  ACK  1800 Suy ra S, H, R thẳng hàng. Vì DE là đường trung bình của tam giác KRS, nên DE đi qua trung điểm J của HK (ĐPCM). 1.2. Định lý Ceva Định lý: Gọi E, F, G là ba điểm tương ứng nằm trên các cạnh BC, CA, AB của tam giác ABC. Lúc đó, ba đường thẳng AE, BF, CG cắt nhau tại AG BE CF một điểm O khi và chỉ khi: . .  1 (1) GB EC FA Chứng Minh: Phần thuận: Từ A và B, kẻ các đường song song với BF, chúng lần lượt cắt CG và AE tại K, L tương ứng. CF CO LC CO CF LC Ta có:  và  => ...