Luận văn Thạc sĩ Toán học: Một số chứng minh định lý Fermat nhỏ và định lý Wilson

Mục đích nghiên cứu của đề tài là trình bày các chứng minh ban đầu của Định lý Fermat nhỏ và Định lý Wilson và dạng mở rộng của chúng, sau đó trình bày thêm một số chứng minh tổ hợp gần đây. Đồng thời trình bày một số ứng dụng của hai định lý trên.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Luận văn Thạc sĩ Toán học: Một số chứng minh định lý Fermat nhỏ và định lý Wilson ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– BÙI THỊ MINH HẢIMỘT SỐ CHỨNG MINH ĐỊNH LÝ FERMAT NHỎ VÀ ĐỊNH LÝ WILSON LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2017 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– BÙI THỊ MINH HẢIMỘT SỐ CHỨNG MINH ĐỊNH LÝ FERMAT NHỎ VÀ ĐỊNH LÝ WILSON Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp Mã số: 60460113 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS. NGUYỄN ĐÌNH BÌNH THÁI NGUYÊN - 2017 iiiMục lụcLời mở đầu 11 Định lý Fermat nhỏ và Định lý Wilson 3 1.1 Một số kết quả về đồng dư . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2 Chứng minh ban đầu Định lý Fermat nhỏ . . . . . . . . . . . 7 1.3 Chứng minh ban đầu Định lý Wilson . . . . . . . . . . . . . . 15 1.4 Ứng dụng giải một số bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282 Mở rộng Định lý Fermat nhỏ và Định lý Wilson 35 2.1 Một dạng tổng quát của Định lý Fermat nhỏ . . . . . . . . . . 35 2.2 Một dạng tổng quát của Gauss về Định lý Wilson . . . . . . . 39 2.3 Một số chứng minh tổ hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 2.4 Ứng dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 1Lời mở đầu Định lý Fermat nhỏ và Định lý Wilson là hai trong những định lý hữu ích,nổi tiếng trong toán học. Chúng được ứng dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau,tuy nhiên trong luận văn này, tác giả tập trung vào trình bày các chứng minhban đầu của cả hai định lý và mở rộng của chúng, các chứng minh tổ hợp gầnđây của hai Định lý Fermat nhỏ và Định lý Wilson. Thông qua việc chứng minhtổ hợp, tác giả muốn thể hiện gần đây các nhà toán học vẫn đang tiếp tục nghiêncứu và tìm các cách khác nhau chứng minh hai định lý trên trong suốt hai thếkỷ qua. Mục đích nghiên cứu Trình bày các chứng minh ban đầu của Định lý Fermat nhỏ và Định lý Wilsonvà dạng mở rộng của chúng, sau đó trình bày thêm một số chứng minh tổ hợpgần đây. Đồng thời trình bày một số ứng dụng của hai định lý trên. Nhiệm vụ nghiên cứu - Trình bày sơ lược lịch sử và chứng minh ban đầu về Định lý Fermat nhỏ vàĐịnh lý Wilson. - Trình bày một mở rộng của Định lý Fermat nhỏ và Định lý Wilson. - Một số ứng dụng của hai định lý này. Dự kiến đóng góp Từ lịch sử các chứng minh ban đầu của cả hai định lý và mở rộng của chúng,các chứng minh tổ hợp gần đây của hai Định lý Fermat nhỏ và Định lý Wilson.Thông qua việc chứng minh tổ hợp, chúng tôi muốn thể hiện các nhà toán họcvẫn đang tiếp tục nghiên cứu và tìm các cách khác nhau chứng minh hai định lýtrên trong suốt hai thế kỷ qua. Đây chính là nét mới so với kiến thức đã học ở 2bậc Đại học. Ngoài phần mở đầu và kết luận, bố cục Luận văn dự kiến có 02 chươngchính. Chương 1. Định lý Fermat nhỏ và Định lý Wilson Trình bày sơ lược lịch sử và chứng minh ban đầu về Định lý Fermat nhỏ vàĐịnh lý Wilson. Chương 2. Mở rộng Định lý Fermat nhỏ và Định lý Wilson Trình bày một mở rộng của Định lý Fermat nhỏ và Định lý Wilson, ứng dụnghai định lý đó.Luận văn này được thực hiện tại Trường Đại học Khoa học – Đại học TháiNguyên và hoàn thành dưới sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Đình Bình. Tác giảxin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới người hướng dẫn khoahọc của mình, người đã đặt vấn đề nghiên cứu, dành nhiều thời gian hướng dẫnvà tận tình giải đáp những thắc mắc của tác giả trong suốt quá trình làm luậnvăn. Tác giả xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới các Thầy giáo, Cô giáo đã thamgia giảng dạy lớp Cao học Toán K9B2 (khóa 2015–2017); Nhà trường và cácphòng chức năng của Trường; Khoa Toán – Tin, trường Đại học Khoa học – Đạihọc Thái Nguyên đã quan tâm và giúp đỡ tác giả trong suốt thời gian học tập tạitrường. Cuối cùng, tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè, lãnh đạođơn vị công tác và đồng nghiệp đã động viên, giúp đỡ và tạo điều kiện tốt nhấtcho tôi khi học tập và nghiên cứu. Do còn hạn chế về nhiều mặt nên luận văn không tránh khỏi thiếu sót. Rấtmong nhận được sự chỉ bảo, góp ý của thầy cô và các bạn. Tác giả Bùi Thị Minh Hải 3Chương 1Định lý Fermat nhỏ và Định lý Wilson Mục đích của chương là trình bày sơ lược lịch sử và chứng minh ban đầu vềĐịnh lý Fermat nhỏ và Định lý Wilson. Trong suốt luận văn, nhiều khái niệm và kết quả cơ bản của lý thuyết số vàtổ hợp sẽ được sử dụng trong chứng minh của Định lý Fermat nhỏ và Định lýWilson. Những chứng minh của định lý chính được sử dụng có thể được tìmthấy trong hầu hết các sách lý thuyết số và tổ hợp. Những bổ đề quan trọng đãđược trình bày trong chương này.1.1 Một số kết quả về đồng dư Trong mục này, tác giả trình bày một số kết quả về đồng dư, làm cơ sở đểchứng minh Định lý Fermat nhỏ và Định lý Wilson. Những kết quả trong mục này được tác giả tham khảo từ [1],[2].Định nghĩa 1.1.1. Cho a, b và m là các số nguyên, và m > 0. Nếu m|(a − b) thìta nói a đồng dư với b (mod m) và ta viết a≡b (mod m). Các khái niệm về đồng dư lần đầu tiên được chính thức giới thiệu bởi Gauss 4trong chương thứ nhất của cuốn Disquisitiones Aritmeticae. Ông chọn kí hiệu≡ bởi ...