Luận văn Thạc sĩ Toán học: Một số chuyên đề về đa thức dành cho học sinh giỏi toán bậc trung học phổ thông

Luận văn này được viết theo dạng chuyên đề, bao gồm những bài toán hay về đa thức, đặc biệt là nghiệm của đa thức, Đồng nhất thức Newton và đa thức bất khả quy. Các bài toán chủ yếu dược chọn lọc từ 3 tài liệu Tiếng Anh, mà không sao chép từ bất cứ tài liệu Tiếng Việt.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Luận văn Thạc sĩ Toán học: Một số chuyên đề về đa thức dành cho học sinh giỏi toán bậc trung học phổ thông ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC LƯU MỸMỘT SỐ CHUYÊN ĐỀ VỀ ĐA THỨCDÀNH CHO HỌC SINH GIỎI TOÁN BẬC TRUNG HỌC PHỔ THÔNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2015 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC LƯU MỸMỘT SỐ CHUYÊN ĐỀ VỀ ĐA THỨCDÀNH CHO HỌC SINH GIỎI TOÁN BẬC TRUNG HỌC PHỔ THÔNG Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 60 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS. LÊ THỊ THANH NHÀN Thái Nguyên - 2015 iMục lụcLời cảm ơn iiMở đầu 11 Nhắc lại kiến thức về đa thức 3 1.1 Phép chia với dư và ước chung lớn nhất . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2 Nghiệm của đa thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.3 Định lí cơ bản của Đại số và Công thức Viete . . . . . . . . . . . . 8 1.4 Đa thức bất khả quy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 Một số dạng toán thi học sinh giỏi về đa thức 14 2.1 Một số bài toán đơn giản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.2 Sử dụng nghiệm của đa thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.3 Sử dụng đa thức bất khả quy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.4 Sử dụng công thức Viete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.5 Đồng nhất thức Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34Kết luận và Đề nghị 39Tài liệu tham khảo 40 iiLời cảm ơn Trước hết, tôi xin gửi lời biết ơn chân thành và sâu sắc nhất đến PGS.TS. Lê ThịThanh Nhàn. Mặc dù rất bận rộn trong công việc nhưng Cô vẫn dành rất nhiều thờigian và tâm huyết trong công việc hướng dẫn. Cho đến hôm nay, luận văn thạc sĩtoán học của tôi đã được hoàn thành, xin được cảm ơn Cô đã đôn đốc nhắc nhở vàgiúp đỡ tôi. Tôi xin trân trọng cảm ơn Ban giám hiệu, Khoa Toán - Tin và Phòng Đào tạocủa Trường Đại học khoa học - Đại học Thái Nguyên. Tôi xin trân trọng cảm ơn cácThầy, Cô đã tận tình truyền đạt những kiến thức quý báu cũng như tạo mọi điều kiệnthuận lợi nhất để tôi hoàn thành luận văn này. Cuối cùng, tôi xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn đến gia đình, bạn bè, đồngnghiệp, những người đã không ngừng động viên, hỗ trợ và tạo mọi điều kiện tốt nhấtcho tôi trong suốt thời gian học tập và thực hiện bản luận văn này. 1Mở đầu Luận văn trình bày lời giải một số dạng toán về đa thức dành cho học sinh giỏi bậctrung học phổ thông. Luận văn được viết chủ yếu dựa theo cuốn sách Polynomialscủa G. D. Carroll (2011) và cuốn sách Polynomials của V. V. Prasolov (2004). Luậnvăn cũng tham khảo một số kiến thức cơ sở trong Giáo trình Lý thuyết đa thức của LêThị Thanh Nhàn (2015) và cuốn sách Ideals, Varieties and Algorithms của D. Cox,Little J., D. O’Shea (2006). Luận văn này được viết theo dạng chuyên đề, bao gồm những bài toán hay vềđa thức, đặc biệt là nghiệm của đa thức, Đồng nhất thức Newton và đa thức bất khảquy. Các bài toán chủ yếu dược chọn lọc từ 3 tài liệu Tiếng Anh nói trên, mà khôngsao chép từ bất cứ tài liệu Tiếng Việt. Nội dung của luận văn hoàn toàn không trùnglặp với bất kỳ một luận văn thạc sĩ nào đã được bảo vệ trước đó về đa thức. Thựctế, một số đề bài toán khó chỉ có lời giải tóm tắt hoặc hướng dẫn, chúng tôi đã diễngiải tường minh và chi tiết lời giải trong luận văn này. Có những bài toán chỉ đượcphát biểu trong các cuốn sách đó (mà không có lời giải), chúng tôi cũng đã tự giảichúng. Nhiều bài toán nằm rải rác trong các cuốn sách trên và một số tài liệu khácđược chúng tôi bố cục lại theo một chủ đề nhất định để người đọc dễ theo dõi. Ngoài phần Mở đầu và Kết luận, luận văn được chia thành hai chương. TrongChương 1, chúng tôi nhắc lại kiến thức về đa thức mà sẽ sử dụng trong bản luận vănnày, bao gồm phép chia với dư và ước chung lớn nhất; nghiệm của đa thức; Định lícơ bản của đại số và công thức Viete, đa thức bất khả quy. Chương 2 trình bày mộtsố dạng toán thi học sinh giỏi về đa thức. Chúng tôi đề cập đến lời giải một số dạngtoán khó về đa thức, đặc biệt là các dạng toán thi học sinh giỏi quốc tế. Chương nàygồm 5 mục: Một số bài toán đơn giản; sử dụng nghiệm của đa thức; sử dụng đa thức 2bất khả quy; sử dụng công thức Viete; đồng nhất thức Newton.Thái Nguyên, ngày 10 tháng 4 năm 2015Lưu MỹHọc viên Cao học Lớp B Khóa 06/2013-06/2015Chuyên ngành Phương pháp Toán sơ cấpTrường Đại học Khoa học - Đại học Thái NguyênEmail: luumy.kienan@gmail.com 3Chương 1Nhắc lại kiến thức về đa thức Một tập con V của C được gọi là một vành con nếu 1 ∈ V và phép cộng, phéptrừ, phép nhân đều đóng trong trong V (tức là 1 ∈ V và a + b, a − b, ab ∈ V vớimọi a, b ∈ V ). Trong suốt chương này, luôn giả thiết V là một vành con của C. Mộtvành con K của C được gọi là một trường con nếu mọi phần tử khác 0 của K đềukhả nghịch (tức là a−1 = 1/a ∈ K với mọi 0 6= a ∈ K). Trong suốt chương này,luôn giả thiết K là một trường con của C.1.1 Phép chia với dư và ước chung lớn nhất Một đa thức một biến với hệ số trong V là một biểu thức có dạng f (x) = an xn + . . . + a1 x + a0 ,trong đó x là một kí hiệu, gọi là biến và ai là các phầ ...