Luận văn Thạc sĩ Toán học: Một số đa tạp trong đại số tuyến tính

Đề tài nghiên cứu có cấu trúc gồm 2 chương nhắc lại một số kiến thức cơ bản về hình học vi phân; một số đa tạp trong đại số tuyến tính. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Luận văn Thạc sĩ Toán học: Một số đa tạp trong đại số tuyến tính ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THỊ TUYẾT THANH MỘT SỐ ĐA TẠP TRONG ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2017 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THỊ TUYẾT THANH MỘT SỐ ĐA TẠP TRONG ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 62 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS. NGUYỄN THANH SƠN Thái Nguyên - 2017 3 Mục lục Bảng ký hiệu ii Mở đầu 1 1 Nhắc lại một số kiến thức cơ bản về hình học vi phân 3 1.1 Khái niệm đa tạp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.1 Đa tạp tô pô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.2 Đa tạp khả vi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.3 Đa tạp con . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.4 Hàm, ánh xạ trên đa tạp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.1.5 Nhóm Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2 Vectơ tiếp xúc, không gian tiếp xúc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.2.1 Không gian tiếp xúc Rm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.2.2 Vectơ tiếp xúc, không gian tiếp xúc của đa tạp . . . . . . . . . 12 1.2.3 Đạo hàm của ánh xạ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.2.4 Một số ánh xạ khả vi đặc biệt . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.3 Phân thớ tiếp xúc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.3.1 Phân thớ tiếp xúc của đa tạp tô pô . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.3.2 Phân thớ tiếp xúc của đa tạp khả vi . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.3.3 Móc Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.3.4 Đại số Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.3.5 Trường véc tơ bất biến trên nhóm Lie. . . . . . . . . . . . . . 24 4 1.4 Đa tạp Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1.4.1 Khái niệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1.4.2 Khoảng cách . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 1.4.3 Nhóm đẳng cự . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 1.4.4 Không gian thuần nhất Riemann. . . . . . . . . . . . . . . . . 27 1.4.5 Phân thớ chuẩn tắc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 1.5 Liên thông Levi- Civita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 1.5.1 Liên thông trong Rm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 1.5.2 Liên thông Levi- Civita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 1.5.3 Trường chuẩn tắc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 1.5.4 Dạng cơ bản thứ hai và liên thông Levi- Civita trên đa tạp con 33 1.6 Đường trắc địa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 1.6.1 Trường véc tơ tiếp xúc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 1.6.2 Cung trắc địa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 1.6.3 Ánh xạ mũ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2 Một số đa tạp trong đại số tuyến tính 39 2.1 Đa tạp Grassmann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.1.1 Cấu trúc tô pô của G(k, n) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 2.1.2 Cấu trúc vi phân của G(k, n) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.1.3 Cấu trúc Riemann của đa tạp Grassmann. . . . . . . . . . . . 44 2.1.4 Đường trắc địa, ánh xạ mũ và ánh xạ logarith . . . . . . . . . 45 2.2 Đa tạp các ma trận đối xứng nửa xác định dương . . . . . . . . . . . . 48 2.2.1 Định nghĩa và đặc trưng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 2.2.2 Không gian tiếp xúc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 2.2.3 Mêtríc Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 2.2.4 Không gian pháp và phép chiếu . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 2.2.5 Liên thông Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 i 2.2.6 Đường trắc địa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 Kết luận và Đề nghị 56 Tài liệu tham khảo 57 ii Bảng ký hiệu dimM Số chiều của đa tạp M C ∞ (M ) tập tất cả các hàm trơn trên M C ∞ (E) tập các lát cắt trơn của (E, M, π) C ∞ (T M ) tập các trường vectơ trơn X : M → T M Sm mặt cầu đơn vị trong Rm Tp Rm tập các toán tử vi phân tuyến tính tại p Tp M không gian tiếp xúc của M tại p G đại số Lie của G ⊗ tích tenxơ của các không gian vectơ Ap hạn chế đa tuyến tính của A trên tích tenxơ Tp M ⊗ ... ⊗ Tp M G(k, n) tập tất cả các không gian k chiều của R O(k, n) tập các ma trận có các cột trực chuẩn trong Rn ST (k, n) ...