Luận văn Thạc sĩ Toán học: Một số lớp phương trình Diophantine

Mục tiêu của đề tài luận văn là: Tìm hiểu một số lớp phương trình Diophantine như phương trình Diophantine tuyến tính; một số phương trình Diophantine phi tuyến (phương trình Pell, phương trình Pell mở rộng, phương trình Pythagoras Fermat). Liên phân số và ứng dụng trong phương trình Diophantine.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Luận văn Thạc sĩ Toán học: Một số lớp phương trình Diophantine ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC BÙI HỮU MÊNMỘT SỐ LỚP PHƯƠNG TRÌNH DIOPHANTINE LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2017 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC BÙI HỮU MÊNMỘT SỐ LỚP PHƯƠNG TRÌNH DIOPHANTINE LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 60 46 01 13 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC GS.TSKH. ĐẶNG HÙNG THẮNG Thái Nguyên - 2017 3Mục lụcDanh sách kí hiệu 4Mở đầu 5Chương 1. Phương trình Diophantine tuyến tính 7 1.1 Phương trình bậc nhất hai ẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2 Phương trình bậc nhất nhiều ẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15Chương 2. Một số phương trình Diophantine phi tuyến 23 2.1 Phương trình Pell loại 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.2 Phương trình Pell loại 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.3 Phương trình Pythagoras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38Chương 3. Liên phân số và ứng dụng trong phương trình Diophantine 45 3.1 Liên phân số hữu hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 3.2 Liên phân số vô hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 3.3 Liên phân số vô hạn tuần hoàn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 3.4 Áp dụng vào phương trình Diophante . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 3.4.1 Phương trình bậc nhất hai ẩn Ax + By = C . . . . . . . . . . . . 56 3.4.2 Phương trình x2 − dy2 = ±1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57Kết luận 62Tài liệu tham khảo 63 4Danh sách kí hiệuN tập hợp các số tự nhiênZ vành các số nguyênQ trường các số hữu tỷR trường các số thựcC trường các số phứcFp trường có p phần tửK[X] vành đa thức với hệ số trên trường Kdxe trần của số xdeg P(X) bậc của đa thức P(X)mod p modulo pgcd(P(X), Q(X)) ước chung lớn nhất của hai đa thức P(X) và Q(X) 5Mở đầuPhương trình Diophantine là một chủ đề lớn của Lý thuyết số, chứa đựng nhiều lýthuyết toán học sâu sắc, gắn liền với nhiều tên tuổi của nhiều nhà toán học xuấtsắc. Mục tiêu của đề tài luận văn là: Tìm hiểu một số lớp phương trình Diophantinenhư: phương trình Diophantine tuyến tính; một số phương trình Diophantine phituyến (phương trình Pell, phương trình Pell mở rộng, phương trình PythagorasFermat). Liên phân số và ứng dụng trong phương trình Diophantine. Về mặt ứngdụng, luận văn sẽ áp dụng lý thuyết để soi sáng những bài toán số học ở phổ thông,hệ thống hóa, tổng quát hóa và sáng tác ra những bài toán số học mới. Luận văn sẽ cố gắng trở thành một tài liệu tham khảo tốt, thiết thực phục vụcho việc giảng dạy, nhất là việc giảng dạy và bồi dưỡng học sinh giỏi. Ngoài rathông qua việc viết luận văn, tác giả luận văn có cơ hội mở rộng nâng cao hiểu biếtvề toán sơ cấp nói chung và số học nói riêng, hình thành các kỹ năng chứng minhcác định lí số học và giải các bài toán số học, phục vụ tốt cho việc giảng dạy mônToán ở trường phổ thông. Nội dung của luận văn được trình bày trong ba chương như sau: • Chương 1. Phương trình Diophantine tuyến tính. Trong chương này chúng tôi trình bày về phương trình bậc nhất hai ẩn, nhiều ẩn, và một số bài toán chọn lọc. • Chương 2. Một số phương trình Diophantine phi tuyến. Trong chương này chúng tôi trình bày nội dung chính về các phương trình Pell loại 1, phương trình Pell loại , và phương trình Pythagoras. • Chương 3. Liên phân số và ứng dụng trong phương trình Diophantine. Trong 6 chương này chúng tôi trình bày một cách ngắn gọn các sự kiện về liên phân số, đặc biệt là các ứng dụng của chúng để giải phương trình Pell. Luận văn này được thực hiện tại Trường Đại học Khoa học - Đại học TháiNguyên và hoàn thành với sự hướng dẫn của GS.TSKH. Đặng Hùng Thắng (TrườngĐHKHTN - ĐHQG Hà Nội). Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn c ...