Luận văn Thạc sĩ Toán học: Một số tính chất của không gian Lorentz và ứng dụng

Không gian Lorentz được đưa ra từ năm 1950 bởi nhà toán học George Lorentz và có nhiều ứng dụng trong lĩnh vực phương trình đạo hàm riêng, đặc biệt là các bài toán về sự tồn tại và tính chính quy nghiệm. Gần đây, nhiều kết quả về đánh giá gradient của nghiệm phương trình elliptic dạng divergence thu được trên không gian Lorentz, hoặc trên không gian L p yếu (không gian Marcinkiewicz), thường được xem như một trường hợp đặc biệt của không gian Lorentz.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Luận văn Thạc sĩ Toán học: Một số tính chất của không gian Lorentz và ứng dụng BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Bùi Hoài Nhân MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦAKHÔNG GIAN LORENTZ VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh - 2020 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Bùi Hoài Nhân MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA KHÔNG GIAN LORENTZ VÀ ỨNG DỤNGChuyên ngành : Toán Giải TíchMã số: 846 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS. NGUYỄN THÀNH NHÂN Thành phố Hồ Chí Minh - 2020 LỜI CAM ĐOANTôi xin cam đoan đây là luận văn do chính tôi thực hiện dưới sự hướng dẫn khoahọc của TS. Nguyễn Thành Nhân. Các nội dung nghiên cứu và kết quả thamkhảo trong luận văn được trích dẫn và liệt kê đầy đủ trong mục Tài liệu thamkhảo. Thành phố Hồ Chí Minh, ngày 30 tháng 1 năm 2020 Bùi Hoài NhânLời cảm ơn Lời đầu tiên, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất tới Thầy TS. NGUYỄNTHÀNH NHÂN, người đã tận tình hướng dẫn và giúp đỡ để tôi có thể hoànthành luận văn này. Tôi xin cảm ơn quý thầy cô trong Hội đồng chấm luận văn đã đọc và góp ýgiúp cho luận văn được hoàn chỉnh hơn. Xin chân thành cảm ơn quý thầy cô Khoa Toán - Tin học trường Đại học Sưphạm thành phố Hồ Chí Minh đã truyền đạt cho tôi những kiến thức quý báutrong suốt những năm học vừa qua, tạo cho tôi một nền tảng vững chắc để thựchiện luận văn. Cuối cùng, tôi cũng gửi lời cảm ơn gia đình, bạn bè và tập thể lớp Toán Giảitích K28 đã hết lòng ủng hộ và động viên, giúp đỡ tôi trong quá trình học tậpcũng như trong quá trình thực hiện luận văn này. Tuy nhiên, do thời gian có hạn nên luận văn còn nhiều hạn chế và khôngtránh khỏi những sai sót. Vì vậy, tôi rất mong nhận được sự đóng góp ý kiếncủa quý thầy cô và các bạn để luận văn được hoàn thiện hơn. Xin chân thành cám ơn. Tp.HCM, ngày 30 tháng 1 năm 2020 Tác giả Bùi Hoài NhânMục lụcLời nói đầu 1Bảng ký hiệu 31 Không gian Marcinkiewicz 4 1.1 Không gian Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2 Hàm phân phối . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.3 Không gian Lp yếu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 Không gian Lorentz 20 2.1 Hàm hoán vị giảm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.2 Hàm cực đại . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.3 Không gian Lorentz Lp,q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353 Ứng dụng sự tồn tại nghiệm của phương trình p-Laplace 45 3.1 Xây dựng ánh xạ T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 3.2 Sự tồn tại nghiệm renormalized của phương trình (3.1) . . . . . 50Tài liệu tham khảo 52 1Lời nói đầu Không gian Lorentz được đưa ra từ năm 1950 bởi nhà toán học GeorgeLorentz và có nhiều ứng dụng trong lĩnh vực phương trình đạo hàm riêng, đặcbiệt là các bài toán về sự tồn tại và tính chính quy nghiệm. Gần đây, nhiềukết quả về đánh giá gradient của nghiệm phương trình elliptic dạng divergencethu được trên không gian Lorentz, hoặc trên không gian Lp yếu (không gianMarcinkiewicz), thường được xem như một trường hợp đặc biệt của không gianLorentz. Nhờ vào các đánh giá này, sự tồn tại nghiệm của một số lớp phươngtrình đạo hàm riêng như phương trình p-Laplace, phương trình dạng Ricatti, . . .cũng được chứng minh. Nội dung luận văn tập trung khảo sát một số tính chất trong không gianLorentz, các định nghĩa về chuẩn và nửa chuẩn trong không gian này. Ngoàira luận văn khảo sát mối liên hệ về sự tương đương giữa chuẩn và nửa chuẩntrong không gian Lorentz. Các kết quả này là công cụ hữu ích để chứng minh sựtồn tại nghiệm của phương trình dạng Riccati trên không gian Lorentz. Cụ thể,trong luận văn này chúng tôi xét sự tồn tại nghiệm renormalized (tham khảotrong [8]) của phương trình dạng p-Laplace   −∆ u = |∇u|q + µ trong X, p (1)  u = 0 trên ∂X,trong không gian Lorentz Ls,t . Các kết quả tham khảo chủ yếu trong các bàibáo [14], [16], [17]. Nội dung chính của luận văn “Một số tính chất của không gian Lorentz 1 2và ứng dụng ” là tìm hiểu về một số tính chất quan trọng của không gianLorentz và chỉ ra được sự tồn tại nghiệm renormalized của phương trình p-Laplace trong không gian Lorentz. Nội dung luận văn bao gồm 3 chương:Chương 1: Không gian Marcinkiewicz. Nội dung chính của phần này là hệ thống lại một số kiến thức liên quan đến không gian Lp và không gian Lp yếu được tham khảo trong 2 quyển sách của L. Grafakos là [4] và [3].Chương 2: Không gian Lorentz. Nội dung của chương gồm định nghĩa không gian Lorentz và chuẩn của không gian Lorentz với tài liệu tham khảo chính của là [7] và quyển sách [13] của F. L. Santos. Chúng tôi sẽ trình bày lại khái niệm không gian Lo ...