Luận văn Thạc sĩ Toán học: Một số ứng dụng của phương trình sai phân giải toán sơ cấp

Luận văn nghiên cứu phương trình sai phân tuyến tính, cách tìm nghiệm tổng quát của phương trình sai phân tuyến tính, đồng thời giới thiệu một số phương pháp khác tìm nghiệm phương trình sai phân tuyến tính cấp một. Phần cuối của chương trình bày một vài ứng dụng của phương trình sai phân trong việc tính tổng dãy số, tìm số hạng tổng quát của dãy số và một số bài toán liên quan. Mời các bạn tham khảo!
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Luận văn Thạc sĩ Toán học: Một số ứng dụng của phương trình sai phân giải toán sơ cấp ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC --------------------------- PHAN THỊ THU HUYỀNMỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA PHƢƠNGTRÌNH SAI PHÂN GIẢI TOÁN SƠ CẤP LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2019 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC --------------------------- PHAN THỊ THU HUYỀNMỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA PHƢƠNGTRÌNH SAI PHÂN GIẢI TOÁN SƠ CẤP Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 8 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS: Nguyễn Thị Ngọc Oanh THÁI NGUYÊN - 2019 1Mục lục TrangLời nói đầu 3Chương 1 Một số kiến thức cơ bản về phép tính sai phân 5 1.1. Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2. Nguồn gốc phương trình sai phân . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3. Định lý về sự tồn tại và duy nhất nghiệm . . . . . . . . . . 12 1.4. Toán tử ∆ và E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.5. Các tính chất cơ bản của toán tử sai phân . . . . . . . . . 16 1.6. Toán tử ∆−1 và phép lấy tổng . . . . . . . . . . . . . . . . 20Chương 2 Phương trình sai phân tuyến tính và ứng dụng 24 2.1. Các định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.2. Cách tìm nghiệm tổng quát và nghiệm riêng . . . . . . . . 26 2.3. Một số phương pháp khác giải phương trình sai phân tuyến tính cấp một . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.3.1. Phương trình tuyến tính tổng quát . . . . . . . . . 28 2.3.2. Phương trình dạng yk+1 − yk = (n + 1)kn . . . . 31 2.3.3. Phương trình dạng yk+1 = Rk yk . . . . . . . . . . 35 2.4. Một số ứng dụng trong giải toán sơ cấp . . . . . . . . . . . 35 2.4.1. Tính tổng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.4.2. Dãy Số Fibonacci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 2.4.3. Đa thức Chebyshev . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 2 2.4.4. Một số dạng toán liên quan tới dãy số . . . . . . . 47Kết luận 53 3Lời nói đầu Phương trình sai phân là một lĩnh vực được nhiều nhà khoa học quantâm bởi tính hữu hiệu của nó khi giải số các mô hình đề xuất, ta có thểtham khảo ứng dụng đa dạng của phương trình sai phân trong tài liệu[3] và các tài liệu tham khảo của nó. Bên cạnh những ứng dụng mạnhmẽ của phương trình sai phân khi nghiên cứu các mô hình phức tạp thìphương trình sai phân có nhiều ứng dụng hiệu quả khi giải các bài toántrong chương trình phổ thông như: tính tổng chuỗi, tìm số hạng tổngquát, chứng minh bất đẳng thức,. . . . Luận văn gồm có trong hai chương. Chương 1 trình bày lại một số kiến thức liên quan tới phương trìnhsai phân như định lý tồn tại và duy nhất nghiệm, toán tử ∆ và toán tửE, toán tử ∆−1 ,. . . . Chương 2 nghiên cứu phương trình sai phân tuyến tính, cách tìmnghiệm tổng quát của phương trình sai phân tuyến tính, đồng thời giớithiệu một số phương pháp khác tìm nghiệm phương trình sai phân tuyếntính cấp một. Phần cuối của chương trình bày một vài ứng dụng củaphương trình sai phân trong việc tính tổng dãy số, tìm số hạng tổngquát của dãy số và một số bài toán liên quan. Để thực hiện và hoàn thành đề tài Luận văn này, em xin gửi lời cảmơn chân thành đến Ban Giám hiệu, bộ phận Sau đại học - Phòng đàotạo, Khoa Toán- Tin trường Đại học Khoa học – Đại Học Thái Nguyêncùng quý thầy cô trong trường đã giảng dạy và giúp đỡ em trong suốtquá trình hoc tập và nghiên cứu. 4 Đồng thời xin chân thành cảm ơn tới gia đình, người thân, bạn bè vàcác anh chị trong lớp đã tạo điều kiện giúp đỡ em trong quá trình họctập và nghiên cứu đề tài của mình. Đặc biệt, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Tiến sĩ Nguyễn ThịNgọc Oanh người hướng dẫn khoa học đã trực tiếp dành thời gian, côngsức hướng dẫn em trong quá trình nghiên cứu và thực hiện luận văn. Em xin trân trọng cảm ơn! Thái Nguyên, ngày 01 tháng 11 năm 2019 Học viên Phan Thị Thu Huyền 5Chương 1Một số kiến thức cơ bản về phéptính sai phân Trong chương này chúng tôi sẽ trình bày các kiến thức cơ bản nhấtliên quan tới phép tính sai phân, các định nghĩa và định lý về nghiệm,sự tồn tại và duy nhất nghiệm; toán tử sai phân ∆ cùng các tính chấtcơ bản, toán tử dịch chuyển E. . . . Nội dung của chương này được thamkhảo chính trong các Chương 1 ...