Luận văn Thạc sĩ Toán học: Một số vấn đề về vành chính qui Von Neumann

Luận văn Thạc sĩ Toán học: Một số vấn đề về vành chính qui Von Neumann tập trung tìm hiểu về các tính chất cơ bản của vành chính qui, môđun xạ ảnh trên vành chính qui, vành chính qui Abel, vành các ma trận vuông cấp n trên một vành chính qui, vành các toán tử bị chặn trong không gian Hilbert.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Luận văn Thạc sĩ Toán học: Một số vấn đề về vành chính qui Von Neumann BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Đỗ Lư Công Minh LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2009 1 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Đỗ Lư Công MinhChuyên ngành: Đại số và lí thuyết sốMã số: 60 46 05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. TRẦN HUYÊN Thành phố Hồ Chí Minh – 2009 2 MỤC LỤC trangTrang phụ bìa ........................................................................................... 1Mục lục ..................................................................................................... 2Các qui ước và kí hiệu .............................................................................. 3MỞ ĐẦU ................................................................................................. 5Chương 1 - CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN ............................................. 8 1.1. Phần tử chính qui trong vành .................................................... 8 1.1.1. Khái niệm về phần tử chính qui ...................................... 8 1.1.2. Vành Abel ...................................................................... 10 1.1.3. Phần tử chính qui trong vành các tự đồng cấu của một R - môđun ...................................................................... 12 1.2. Vành chính qui Von Neumann ................................................. 13 1.2.1. Định nghĩa và một số ví dụ ............................................ 13 1.2.2. Các điều kiện tương đương của vành chính qui ............ 15Chương 2 - MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ VÀNH CHÍNH QUI ................... 16 2.1. Các tính chất cơ bản của vành chính qui .................................. 16 2.2. Môđun xạ ảnh trên vành chính qui ........................................... 29 2.3. Vành chính qui Abel ................................................................. 48Chương 3 - MỘT SỐ VÀNH CHÍNH QUI ĐẶC BIỆT ..................... 62 3.1. Vành các ma trận vuông cấp n trên một vành chính qui .......... 62 3.2. Vành các toán tử bị chặn trong không gian Hilbert ................. 69KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ .............................................................. 77TÀI LIỆU THAM KHẢO .................................................................... 79 3 CÁC QUI ƯỚC VÀ KÍ HIỆUƒ Hầu hết các vành trong luận văn được giả sử rằng kết hợp và có đơn vị, các vành con và đồng cấu vành cũng được cho là có đơn vị. Ta hay kí hiệu R là vành với đơn vị 1.ƒ Phép chiếu tự nhiên từ vành R đến vành thương R/I được cho bởi qui luật x x= x+I .ƒ Đôi khi miền nguyên được hiểu là không cần giao hoán.ƒ Cho vành R và số nguyên dương n, M n ( R ) là vành các ma trận vuông cấp n trên R.ƒ Với vành R bất kì, ta dùng kí hiệu L2 ( R ) để chỉ dàn các iđêan hai phía của R (được sắp thứ tự bộ phận bởi quan hệ bao hàm) và ta sử dụng kí hiệu Mod - R để chỉ phạm trù tất cả R - môđun phải.ƒ Tất cả các môđun trong luận văn đều là môđun trên một vành có đơn vị. Hầu hết chúng là các môđun phải, và do đó các đồng cấu thường được viết về phía bên trái chúng. Cụ thể, môđun phải A trên vành R được xem như là một môđun trái trên End R ( A) - vành các tự đồng cấu của nó.ƒ Nếu A là R - môđun, kí hiệu B ≤ A nghĩa là B là môđun con của A, và kí hiệu B < A nghĩa là B là môđun con thực sự của A.Trong trường hợp đặc biệt, nếu R là vành thì: I ≤ RR : I là iđêan phải của R I ≤ R R : I là iđêan trái của Rƒ Với A, B là các môđun: A ≤ e B : A là môđun con cốt yếu của B, nghĩa là A ∩ C ≠ 0 với mọi môđun con C khác 0 của B. 4 A ≺ B : A đẳng cấu với một môđun con của B.ƒ Cho A là môđun và một số nguyên không âm n, nA là tổng trực tiếp n bản sao của A. Tương tự, nếu α là một bản số vô hạn, α A là tổng trực tiếp của α bản sao của A.ƒ Với môđun A tùy ý, E(A) là bao nội xạ của A, nghĩa là môđun nội xạ bé nhất sao cho A cốt yếu trong E(A).ƒ Một R - môđun phải không suy biến M được hiểu theo nghĩa M là môđun sao cho phần tử duy nhất của M bị linh hóa bởi một iđêan phải của R là phần tử không. 5 MỞ ĐẦU1. Lí do chọn đề tài. Khái niệm vành chính qui Von Neumann xuất hiện năm 1936 khi JohnVon Neumann định nghĩa một vành chính qui là một vành R với tính chất: vớimỗi phần tử a ∈ R luôn tồn tại b ∈ R sao cho a = aba . Để phân biệt với những vành chính qui khác như chính qui Noether trongđại số giao hoán, lí thuyết các vành không giao hoán đã sửa đổi tên gọi và đưathêm “Von Neumann” vào tên gọi của loại vành đặc biệt này. Tuy nhiên thựcsự có rất ít cơ hội nhầm lẫn hai khái niệm này bởi vì chúng rất hiếm khi đượcnghiên cứu chung. Ví dụ điển hình về vành chính qui (Von Neumann) là vành đầy đủ cácphép biến đổi tuyến tính của một không gian vectơ trên một vành chia. Chuyển động theo hệ tọa độ trong hình học xạ ảnh được nghiên cứu lạitrong thời gian này (1936) theo ngôn ngữ dàn, và Von Neumann giới thiệuvành chính qui như một công cụ đại số để nghiên cứu những dàn thuộc dạngnày. Dàn được Von Neumann đặc biệt quan tâm được nảy sinh trong khi hợptác làm việc với F.J.Murray để giải quyết các vấn đề về đại số các toán tử trênmột không gian Hilbert, mà sau này được biết đến với tê ...