Luận văn Thạc sĩ Toán học: Một vài hướng phát triển của các định lý giao hoán

Luân văn trình bày các kiến thức cơ bản gồm các khái niệm, các định nghĩa, các tính chất về mođun, vành, căn Jacobson, cấu trúc vành...; trình bày các định lý giao hoán bao gồm các định lý, trong đó có định lý quan trọng đó là định lý WEDDERBURN về một vành chia hữu hạn, các định lý giao hoán của JACOBSON, của HERSTEIN; các ví dụ định lý về giao hoán trên vành subboolean. Để biết rõ hơn về nội dung chi tiết, mời các bạn cùng tham khảo.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Luận văn Thạc sĩ Toán học: Một vài hướng phát triển của các định lý giao hoánBỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH--------------------------------------------Giang Dậu BạcMỘT VÀI HƯỚNG PHÁT TRIỂN CỦACÁC ĐỊNH LÝ GIAO HOÁNChuyên ngành : Đại số và lý thuyết sốMã số: 60 46 05LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌCNGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:PGS-TS: BÙI TƯỜNG TRÍThành phố Hồ Chí Minh - 2009DANH MỤC CÁC KYÙ HIEÄUE(M )DDkF (G )J ( R) hoặc JJ ( R) = (0).M hoặc GNo( G )R RiTa[ x; y ][ x1; x2 ;....; xn ]x 1 y 1xy[ x; y ][ x1; x2 ;....; xn ]x 1 y 1xyZ , R( Z )2: Vành các tự đồng cấu trên nhóm cộng giao hoán của M: Vành chia.:Vành các ma trận n  n với các phần tử thuộc D.: là đại số nhóm G trên trường F: Căn Jacobson.: R là vành nửa đơn: Nhóm cộng hoặc nhân: Tập các phần tử lũy linh.: Cấp của nhóm G: Vành.: Tổng trực tiếp (con) của các vành Ri .: Tự đồng cấu trên nhóm M : Ta (m)  ma: Giao hoán tử cộng.: Giao hoán tử cộng cấp n.: Giao hoán tử nhân.: Giao hoán tử cộng.: Giao hoán tử cộng cấp n.: Giao hoán tử nhân.: Tâm của vành R .: Trường gồm hai phần tử là 0, 1THUẬT NGỮTRANGA( M ) là tập linh hóa của M trong R8C ( M ) là vành giao hoán tử của R trên M8Giao hoán tử cộng hoặc nhân33-52M là R - mođun trung thành8M là R - mođun Bất khả quy8Phần tử lũy linh a của R11Phần tử tựa chính quy a của R10Phần tử lũy đẳng14Phần tử potent68R vành Artin13R vành đơn16R vành nửa nguyên thũy (đơn)12R vành nguyên thũy16R vành nguyên tố, nửa nguyên tố19-22R là tích trực tiếp ( tích trực tiếp con)21R là vành trực tiếp con22R vành tuần hoàn yếu68Trường K là mở rộng đại sô trên trường F38Trường K là mở rộng tách được trên trường F38LỜI MỞ ĐẦUTrong thời gian học tập và nghiên cứu của lớp cao học khóa 17 tạitrường Đại Học Sư Phạm TP Hồ Chí Minh ngành toán chuyên ngành đại số vàlý thuyết số, các học viên chúng tôi có học tập và nghiên cứu một số chuyênngành trong đó có chuyên ngành về vành giao hoán và vành không giao hoán.Trong hai chương đầu của chuyên đề vành không giao hoán đã nói lên cấu trúccủa vành , radican của vành, phần tử lũy đẳng, lũy linh trong vành ..vv. Trên cơsở của các khái niệm, tính chất với một số định lý của hai chương đầu cùng vớiviệc thầy hướng dẫn làm luận văn tốt nghiệp PGS-TS Bùi Tường Trí đã hướngdẫn cho tôi tham khảo và tìm hiểu các vấn đề về các định lý giao hoán của vành.Trong quá trình học tập và nghiên cứu tôi thấy tính chất giao hoán của một rấtquan trọng, nếu như chúng ta khảo sát một vành mà không có tính chất giaohoán thì trong quá trình làm việc chúng ta sẽ gặp nhiều trở ngại, khi tìm hiểu vềcác chương của các định lý giao hoán tôi đã biết có một vành nào đó chưa biếtgiao hoán nhưng với một điều kiện thích hợp thì chúng trở thành giao hoán. Mặtkhác khi nghiên cứu chương ba tôi thấy các định lý về giao hoán của Herstein.Herstein đã từng bước phát triển điều kiện để vành giao hoán và như vậy sẽ cónhiều vành giao hoán nói cách khác lớp vành giao hoán mỗi lúc được mở rộngsau mỗi điều kiện giao hoán của vành được tìm thấy. Việc nghiên cứu tìm điềukiện cho vành giao hoán là con đường mở rất rộng. Chính vì lẽ đó mà đề tài luậnvăn chúng tôi chọn là “ Một vài hướng phát triển của các định lý giao hoán “Luận văn gồm có 3 chương:Chương I: Chúng tôi trình bày các kiến thức cơ bản gồm các khái niệm, các địnhnghĩa, các tính chất về mođun, vành, căn Jacobson, cấu trúc vành..vvChương II: Chúng tôi trình bày các định lý giao hoán bao gồm các định lý, trongđó có định lý quan trọng đó là định lý WEDDERBURN về một vành chia hữuhạn, các định lý giao hoán của JACOBSON, của HERSTEIN. Mỗi định lý củacác nhà toán học là sự mở rộng của các lớp vành với điều kiện nào đó vành trởnên giao hoán.Chương III: Chương này chúng tôi cố gắng đưa ra một vài ví dụ cụ thể và trìnhbày thêm một hướng phát triển của các định lý về giao hoán trên vànhsubboolean.Tôi xin chân thành gởi lời cám ơn đến các thầy cô khoa Toán, phòng KhoaHọc Công Nghệ & Sau Đại Học trường Đại Học Sư Phạm TP. Hồ Chí Minh, cácthầy cô đã tham gia giảng dạy tôi trong suốt quá trình học tập, xin chân thànhcám ơn PGS-TS Bùi Tường Trí đã nhiệt tình dành nhiều thời gian quý báu đểhướng dẫn và giúp đở tôi chọn đề tài luận văn và hoàn thành luận văn tốtnghiệp.