Luận văn Thạc sĩ Toán học: Một vài tính chất về nghịch đảo của hệ số nhị thức

Trong toán tổ hợp, số Catalan là dãy các số tự nhiên xuất hiện nhiều trong các bài toán đếm, dãy số Catalan có công thức tổng quát là các hệ số nhị thức. Nghịch đảo của hệ số nhị thức cũng xuất hiện nhiều trong các tài liệu toán học và nhiều kết quả về đẳng thức nghịch đảo của hệ số nhị thức được tìm ra. Tuy nhiên, ta biết rằng rất khó để tính các giá trị tổng nghịch đảo của hệ số nhị thức.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Luận văn Thạc sĩ Toán học: Một vài tính chất về nghịch đảo của hệ số nhị thức ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC CAO THỊ THÚY HẰNG MỘT VÀI TÍNH CHẤT VỀNGHỊCH ĐẢO CỦA HỆ SỐ NHỊ THỨC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2016 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC CAO THỊ THÚY HẰNG MỘT VÀI TÍNH CHẤT VỀNGHỊCH ĐẢO CỦA HỆ SỐ NHỊ THỨC Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 60 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS. NÔNG QUỐC CHINH Thái Nguyên - 2016 iMục lụcMở đầu 1Chương 1. Một vài tính chất của hệ số nhị thức 4 1.1 Hệ số nhị thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2 Hàm tổng lũy thừa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.3 Hàm tổng của tích các hệ số nhị thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.4 Định lý Faulhaber cho lũy thừa của hệ số nhị thức . . . . . . . . . . . 11Chương 2. Một vài tính chất về nghịch đảo của hệ số nhị thức 17 2.1 Tổng của nghịch đảo hệ số nhị thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.2 Tổng lũy thừa nghịch đảo của hệ số nhị thức . . . . . . . . . . . . . . . 33Chương 3. Một số bài tập hệ số nhị thức trong toán phổ thông 38Kết luận 46Tài liệu tham khảo 47 1Mở đầu Trong toán học, định lý khai triển nhị thức là một định lý toán học về việc khaitriển hàm mũ của tổng. Cụ thể, kết quả của định lý này là việc khai triển một nhị thứcbậc n thành một đa thức có n + 1 số hạng: n n X n (x + a) = x(n−k) ak k=0 kvới n n! = k (n − k)!k!là số tổ hợp chập k của n phần tử và được gọi là hệ số nhị thức. Định lý này đã đượcđộc lập chứng minh bởi hai người đó là nhà toán học và cơ học Isaac Newton tìm ratrong năm 1665 và nhà toán học James Gregory tìm ra trong năm 1670. Định lý nàyđặc biệt quan trọng, đã được giảng dạy ở các bậc trung học và được sử dụng để giảiquyết nhiều bài toán liên quan. Trong nhiều chủ đề, như giải tích tổ hợp, lý thuyết đồ thị, và lý thuyết số, hệ sốnhị thức thường xuất hiện một cách tự nhiên và đóng vai trò quan trọng. Ví dụ, cáchệ số trong khai triển nhị thức chính là các hàng của tam giác Pascal. Trong toán tổhợp, số Catalan là dãy các số tự nhiên xuất hiện nhiều trong các bài toán đếm, dãy sốCatalan có công thức tổng quát là các hệ số nhị thức. Nghịch đảo của hệ số nhị thức cũng xuất hiện nhiều trong các tài liệu toán học vànhiều kết quả về đẳng thức nghịch đảo của hệ số nhị thức được tìm ra. Tuy nhiên, tabiết rằng rất khó để tính các giá trị tổng nghịch đảo của hệ số nhị thức. Sury, Wangvà Zhao [5] đã chứng minh với λ 6= −1 có biểu diễn sau: n n−m X λm+r n−m−r X λr X n − m − r (−1)i n = (n + 1) r=m r r=0 (λ + 1)r+1 i=0 i m+1+i n λn+1 X (λ + 1)r+1 + (n + 1) . (1) (λ + 1)n+2 r=m r + 1 2 D. H. Lehmer cũng chứng minh nếu |x| < 1, thì X (2x)2m 2x 2m = √ sin−1 x. m 1 − x 2 m≥1 mYang và Zhao tìm ra biểu diễn của các tổng ∞ ∞ X εn X εn 2n , 2n , n=1 n(n + k) n n=1 n2 (n + k) n ∞ ∞ X εn X εn 2n+k , và 2n+2k , n=1 n(n + k) n n=1 n(n + k) n+ktrong đó |ε| = 1, và k là một số nguyên dương tùy ý với k > 1. Gần đây, Dzhumadil’daev và Yeliussizov khảo sát trường hợp tổng lũy thừa của hệsố nhị thức với lũy thừa âm ∞ −1 X i+k−1 ζk (m) = . ...