Luận văn Thạc sĩ Toán học: Nghiệm nhớt của các phương trình Monge-Ampère phức suy biến

Đề tài luận văn "Nghiệm nhớt của các phương trình MongeAmpère phức suy biến" đặt ra mục đích tìm hiểu và nghiên cứu nghiệm yếu của phương trình Monge-Ampère trên các đa tạp phức. Bằng phương pháp xây dựng nghiệm nhớt, đề tài giới hạn nghiên cứu nghiệm nhớt của phương trình Monge-Ampère phức suy biến trên các đa tạp Kahler compact. Mời các bạn tham khảo!
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Luận văn Thạc sĩ Toán học: Nghiệm nhớt của các phương trình Monge-Ampère phức suy biến ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM SOMKID MANYVANHNGHIỆM NHỚT CỦA CÁC PHƯƠNG TRÌNH MONGE - AMPERE PHỨC SUY BIẾN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - Năm 2020 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ————————————————— SOMKID MANYVANHNGHIỆM NHỚT CỦA CÁC PHƯƠNG TRÌNH MONGE - AMPERE PHỨC SUY BIẾN Chuyên ngành: GIẢI TÍCH Mã số: 8.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học TS. DƯƠNG QUANG HẢI Thái Nguyên - Năm 2020 Lời cam đoan Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng của tôi dướisự hướng dẫn của TS Dương Quang Hải .Các tài liệu trong luận văn làtrung thực. Các kết quả chích của luận văn chưa từng được công bố trongcác luận văn Thạc sĩ của tác giả khác. Tôi xin cảm đoan rằng mọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện luận văn nàyđẫ được cảm ơn và các thông tin tích dẫn trong luận văn đã được chỉ rõnguồi gốc. Tác giả Somkid MANYVANH Xác nhận của Xác nhận củaKhoa chuyên môn. Người hướng dẫn khoa họcTS. Trần Nguyên An TS. Dương Quang Hải iLời cảm ơn Bản luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Sư phạm - Đại họcThái Nguyên dưới sự hướng dẫn của TS. Dương Quang Hải. Nhân dịp nàytôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy về sự hướng dẫn tận tình cùngnhững kinh nghiệm trong quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luậnvăn. Tôi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, Khoa Sau Đại học, Ban chủnhiệm Khoa Toán, các thầy cô giáo Trường Đại học Sư phạm - Đại học TháiNguyên, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội và Viện Toán học đã giảng dạyvà tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập và nghiên cứukhoa học. Bản luận văn chắc chắn sẽ không tránh khỏi những khiếm khuyết, vì vậyrất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo và các bạnhọc viên để luận văn này được hoàn chỉnh hơn. Cuối cùng, tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình và bạn bè đãluôn động viên, khích lệ, tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trong thời gianhọc tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn. Thái Nguyên, tháng 9 năm 2020 Người viết luận văn Somkid Manyvanh iiMục lụcLời cảm ơn iiMục lục iiMở đầu 11 Nghiệm nhớt của các phương trình Monge-Ampère phức suy biến 3 1.1 Toán tử Monge-Ampère phức . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2 Phương trình Monge - Ampère phức kiểu Elliptic. . . . . . 5 1.3 Nghiệm nhớt của các phương trình Monge-Ampère phức suy biến dạng (ddc ϕ)n = v . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.4 Nghiệm nhớt của các phương trình Monge-Ampère phức suy biến dạng (ddc ϕ)n = eεϕ v . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.5 Nguyên lý so sánh đối với nghiệm nhớt của các phương trình Monge - Ampère phức suy biến kiểu elliptic . . . . . . . . . 172 Sự tồn tại nghiệm nhớt liên tục của phương trình Monge - Ampère phức suy biến kiểu elliptic 29 2.1 Phương pháp của Preron về tính liên tục nghiệm nhớt dưới của phương trình Monge - Ampère phức suy biến kiểu elliptic 29 2.2 Sự tổn tại nghiệm nhớt của phương trình Monge - Ampère phức suy biến kiểu elliptic trên các đa tạp Kahler compact . 32Kết luận 36 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 iiiMở đầu Trong những năm gần đây, phương trình Monge-Ampère phức suy biếntrên các đa tạp Kahler compact hữu hạn chiều được quan tâm nghiên cứubằng cách sử dụng các công cụ của lý thuyết đa thế vị. Phương pháp nghiệmnhớt giải các phương trình Elliptic suy biến trên các đa tạp compact hoặccác đa tạp Riemann đầy đủ đã đạt được những kết quả quan trọng gầnđây bởi M. Crandall, H. Ishii, P.L. Lions vào những năm 1992. Một cách tựnhiên, phương pháp nghiệm nhớt này có thể được áp dụng vào để nghiêncứu các nghiệm của phương trình Monge- Ampère kiểu elliptic dạng: (ω + ddc ϕ)n = eϕ v,trong đó ω là dạng Kahler nhẵn và v là dạng thể tích nhẵn trên đa tạpKahler compact n chiều X . Tuy nhiên, vì yêu cầu trên các đa tạp Riemanncompact hoặc đầy đủ, mọi tensor độ cong Riemann đều không âm nênphương pháp nghiệm nhớt trên của M. Crandall, H. Ishii, P.L. Lions khôngthể áp dụng vào tìm nghiệm của các phương trình Monge-Ampère phức suybiến trong các trường hợp tổng quát. Tính duy nhất nghiệm của phươngtrình Monge-Ampère phức suy biến đã được chứng minh trong các kết quảnghiên cứu của T. Aubin [2] và ST Yau [12] vào năm 1978 và tồn tại tronghơn 30 năm nay vẫn chưa được tiếp tục nghiên cứu cách kết hợp các côngcụ của lý thuyết đa thế vị và phương pháp nghiệm dưới nhớt trên. Đề tài luận văn Nghiệm nhớt của các phương trình Monge-Ampère phức suy biến đặt ra mục đích tìm hiểu và nghiên cứu nghiệmyếu của phương trình Monge-Ampère trên các đa tạp phức. Bằng phươngpháp xây dựng nghiệm nhớt, đề tài giới hạn nghiên cứu nghiệm nhớt củaphương trình Monge-Ampère phức suy biến trên các đa tạp Kahler com-pact. Từ những kết quả nghiên cứu ở trên, ...