Luận văn Thạc sĩ Toán học: Nhiễu sinh ra đồng bộ hóa cho một số hệ đơn giản

Luận văn Thạc sĩ Toán học "Nhiễu sinh ra đồng bộ hóa cho một số hệ đơn giản" trình bày các nội dung chính sau: Ánh xạ bảo toàn độ đo và ánh xạ ergodic; Nhiễu sinh ra tự đồng bộ trên hệ rẽ nhánh Pitchfork.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Luận văn Thạc sĩ Toán học: Nhiễu sinh ra đồng bộ hóa cho một số hệ đơn giảnBỘ GIÁO DỤC VIỆN HÀN LÂM VÀ ĐÀO TẠO KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VN HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ LÊ BÁ DŨNGNHIỄU SINH RA ĐỒNG BỘ HÓA CHO MỘT SỐ HỆ ĐƠN GIẢN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - 2021BỘ GIÁO DỤC VIỆN HÀN LÂM VÀ ĐÀO TẠO KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VN HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ LÊ BÁ DŨNGNHIỄU SINH RA ĐỒNG BỘ HÓA CHO MỘT SỐ HỆ ĐƠN GIẢN Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 8.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS. TSKH. Đoàn Thái Sơn Hà Nội - 2021 i LỜI CAM ĐOANTôi xin cam đoan những gì viết trong luận văn là do sự tìm tòi, học hỏi củabản thân và sự hướng dẫn tận tình của PGS.TSKH Đoàn Thái Sơn. Mọi kết quảnghiên cứu cũng như ý tưởng của tác giả khác, nếu có đều được trích dẫn cụ thể.Đề tài luận văn này cho đến nay chưa được bảo vệ tại bất kì một hội đồng bảovệ luận văn thạc sĩ nào và cũng chưa hề được công bố trên bất kì một phươngtiện nào. Tôi xin chịu trách nhiệm về những lời cam đoan. Hà Nội, Ngày 20 tháng 4 năm 2022 Học viên Lê Bá Dũng ii - LỜI CẢM ƠN Đầu tiên, tôi xin được tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất của mình tới PGS.TSKH.Đoàn Thái Sơn, người trực tiếp hướng dẫn tôi tìm ra hướng nghiên cứu. Luậnvăn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình của thầy trong một thờigian dài. Thầy đã luôn quan tâm, giúp đỡ, động viên tôi trong suốt quá trình họctập và nghiên cứu. Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy cô, anh chị, bạn bè của Viện Toán họcvì sự giúp đỡ, góp ý và tạo điều kiện trong quá trình học tập, nghiên cứu để tôithực hiện tốt luận văn của mình. Tôi cũng xin trân trọng cảm ơn sự giúp đỡ và tạo điều kiện thuận lợi của cơsở đào tạo là Học viện Khoa học và Công nghệ, Viện Hàn lâm Khoa học vàCông nghệ Việt Nam trong quá trình thực hiện luận văn. Đặc biệt, tôi xin cảm ơn gia đình, người thân và bạn bè đã luôn sát cánh,động viên và khích lệ tôi trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu. Hà Nội, Ngày 20 tháng 4 năm 2022 Học viên Lê Bá Dũng iiiMục lụcLời cam đoanLời cảm ơnMục lụcMỞ ĐẦU 11 Một số kiến thức chuẩn bị 3 1.1 Ánh xạ bảo toàn độ đo và ánh xạ ergodic . . . . . . . . . . . . . 3 1.2 Định lý hồi qui Poincaré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.3 Định lý Birkhoff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 Nhiễu sinh ra tự đồng bộ trên hệ rẽ nhánh Pitchfork 18 2.1 Hệ động lực ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.1.1. Hệ động lực ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.1.2. Tập hút của hệ động lực ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . 23 2.1.3. Tính duy nhất của tập hút ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . 30 2.2 Hệ rẽ nhánh Pitchfork với nhiễu ngẫu nhiên cộng tính . . . . . . 33 2.2.1. Hệ động lực ngẫu nhiên sinh bởi rẽ nhánh Pitchfork với nhiễu ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 iv 2.2.2. Tập hút ngẫu nhiên của hệ động lực ngẫu nhiên sinh bởi rẽ nhánh Pitchfork với nhiễu ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . 38 2.2.3. Độ đo dừng của hệ rẽ nhánh Pitchfork và số mũ Lyapunov 42 2.2.4. Hiện tượng đồng bộ hóa của hệ rẽ nhánh Pitchfork . . . . 45Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 1 MỞ ĐẦUĐối tượng chính của luận văn là nghiên cứu tác động của nhiễu trắng vào hệ rẽnhánh Pitchfork. Cụ thể, ta xét họ các phương trình vi phân thường (ODEs) x˙ = αx − x3 , x ∈ R, (1)tham số hóa bởi α ∈ R. Điểm x = 0 là điểm cân bằng với mọi α. Nó cũng làđiểm cân bằng ổn định duy nhất khi α < 0. Với α > 0 nó không là điểm ổn √định và xuất hiện hai điểm cân bằng mới là ± α. Trường hợp này được biếtđến dưới tên gọi rẽ nhánh Pitchfork. Nghiệm của phương trình (1) nổ khi ...