Luận văn Thạc sĩ Toán học: Nhóm con hữu hạn của nhóm PGL (2,R) và một ứng dụng vào giải phương trình hàm

Phương trình hàm là một dạng toán hay và quan trọng trong các kì thi học sinh giỏi. Đề thi và lời giải các phương trình hàm rất phong phú, liên quan đến nhiều khía cạnh như đại số, giải tích, số học, tổ hợp. Mục đích của luận văn này là xét một lớp phương trình hàm liên kết với các phép biến đổi phân tuyến tính có bậc hữu hạn.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Luận văn Thạc sĩ Toán học: Nhóm con hữu hạn của nhóm PGL (2,R) và một ứng dụng vào giải phương trình hàm ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC VŨ VĂN QUYNHNHÓM CON HỮU HẠN CỦA NHÓM PGL(2, R) VÀ MỘT ỨNG DỤNG VÀO GIẢI PHƯƠNG TRÌNH HÀM LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2015 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC VŨ VĂN QUYNHNHÓM CON HỮU HẠN CỦA NHÓM PGL(2, R) VÀ MỘT ỨNG DỤNG VÀO GIẢI PHƯƠNG TRÌNH HÀM Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 60 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS. ĐOÀN TRUNG CƯỜNG Thái Nguyên - 2015 iMục lụcLời cảm ơn iiMở đầu 11 Kiến thức chuẩn bị 4 1.1 Nhóm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2 Đa thức đặc trưng và chéo hóa ma trận . . . . . . . . . . . . 82 Nhóm con hữu hạn của nhóm PGL(2, R) 11 2.1 Nhóm con xyclic hữu hạn của PGL(2, R) . . . . . . . . . . 11 2.2 Nhóm con hữu hạn của nhóm PGL(2, R) . . . . . . . . . . 163 Ứng dụng vào phương trình hàm 22 3.1 Phương trình hàm và nhóm các phép biến đổi phân tuyến tính 22 3.2 Bài tập vận dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 3.2.1 Phương trình liên kết với các nhóm xyclic Cn . . . . 27 3.2.2 Phương trình liên kết với các nhóm Diheral Dn . . . 35Kết luận 47Tài liệu tham khảo 48 iiLời cảm ơn Luận văn này được hoàn thành tại trường Đại học Khoa học - Đại họcThái Nguyên. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc với TS. Đoàn TrungCường, đã trực tiếp hướng dẫn tận tình và động viên tác giả trong suốt thờigian nghiên cứu vừa qua. Xin chân thành cảm ơn tới các thầy, cô giáo trong khoa Toán - Tin, PhòngĐào tạo Khoa học và Quan hệ quốc tế, các bạn học viên lớp Cao học ToánK7D trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên và các bạn đồng nghiệpđã tạo điều kiện thuận lợi, động viên tác giả trong quá trình học tập và nghiêncứu tại trường. Tác giả cũng xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới gia đình và người thânluôn khuyến khích, động viên tác giả trong suốt quá trình học tập và làm luậnvăn.Thái Nguyên, 2015 Vũ Văn Quynh Học viên Cao học Toán K7D, Trường ĐH Khoa học - ĐH Thái Nguyên 1Mở đầu Phương trình hàm là một dạng toán hay và quan trọng trong các kì thi họcsinh giỏi. Đề thi và lời giải các phương trình hàm rất phong phú, liên quanđến nhiều khía cạnh như đại số, giải tích, số học, tổ hợp. Mục đích của luậnvăn này là xét một lớp phương trình hàm liên kết với các phép biến đổi phântuyến tính có bậc hữu hạn. Ta bắt đầu bằng một ví dụ:Ví dụ. (Putnam 1971) Tìm tất cả các hàm f : R\{0, 1} → R sao cho   x−1 f (x) + f   = 1 + x, ∀x ∈ R\{0, 1}. xĐể giải phương trình hàm này, ta xét ánh xạ g : R\{0, 1} → R\{0, 1} được x−1xác định bởi g(x) = . Khi đó x x−1 g(x) − 1 x − 1 1 2 g (x) = g(g(x)) = = x−1 =− ; g(x) x x−1 1 − x−1 − 1 −x 3 2 g (x) = g(g (x)) = 1 =− = x. − x−1 −1Gọi id là ánh xạ đồng nhất của R\{0, 1} thì G = {id, g, g 2 } cùng với phéphợp thành các ánh xạ là một nhóm xyclic cấp 3. Kí hiệuf1 = f, f2 = f ◦g, f3 = f ◦ g 2 , ta có f1 (x) + f2 (x) = 1 + x với mọi x ∈ R\{0, 1}. 2Thay x bằng g(x) và g 2 (x), ta có hai phương trình sau: f (g(x)) + f (g 2 (x)) = 1 + g(x), hayf2 (x) + f3 (x) = 1 + f (x); f (g 2 (x)) + f (x) = 1 + g 2 (x), hayf3 (x) + f1 (x) = 1 + g 2 (x).Vậy ta có một hệ phương trình tuyến tính theo ba ẩn f1 , f2 , f3 là      f1 + f2 = 1 + x     x−1 f2 + f3 = 1 +   x −1     f3 + f1 = 1 +   x−1 x3 − x2 − 1 x3 − x2 − 1Giải hệ phương trình cụ thể cho ta f1 (x) = hay f (x) = . 2x(x − 1) 2x(x − 1)Hàm số này thỏa mãn phương trình hàm ban đầu, d ...