Luận văn Thạc sĩ Toán học: Nửa nhóm số và đa thức chia đường tròn

Mục đích của đề tài là tìm hiểu về chứng minh của kết quả này nói riêng và tìm hiểu về mối liên hệ giữa nửa nhóm số dạng S(p, q) và đa thức chia đường tròn nói chung. Theo đó, luận văn có trình bày hai chứng minh cho kết quả cổ điển nói trên, trong phiên bản bao gồm cả trường hợp cặp (p,q) không nhất thiết nguyên tố (xem Định lý 2.2.1), đồng thời có đưa ra một vài hệ quả.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Luận văn Thạc sĩ Toán học: Nửa nhóm số và đa thức chia đường tròn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– LÊ THỊ NGỌC BÍCHNỬA NHÓM SỐ VÀ ĐA THỨC CHIA ĐƯỜNG TRÒN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2017 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– LÊ THỊ NGỌC BÍCHNỬA NHÓM SỐ VÀ ĐA THỨC CHIA ĐƯỜNG TRÒN Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp Mã số: 60 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS. NGUYỄN DUY TÂN Thái Nguyên - 2017 1Mục lụcLời nói đầu 21 Nửa nhóm số 6 1.1 Một số định nghĩa và tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2 Tập Apéry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 Mối liên hệ giữa nửa nhóm số và đa thức bù trừ 16 2.1 Đa thức chia đường tròn và đa thức bù trừ . . . . . . . . . . 16 2.2 Định lý chính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.3 Đa thức bù trừ nhị phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243 Một vài ứng dụng 27 3.1 Nửa nhóm số đối xứng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 3.2 Mọi nửa nhóm số với chiều nhúng 2 là đối xứng . . . . . . . 29 3.3 Phân bố gián đoạn và độ gián đoạn . . . . . . . . . . . . . . 30 3.3.1 Độ gián đoạn cực đại trong đa thức chia đường tròn nhị phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 3.3.2 Tổng Sylvester và số Bernoulli . . . . . . . . . . . . . 35Kết luận 38Tài liệu tham khảo 39 2Lời nói đầu Ta xét tập S = S(3, 7) gồm các tổ hợp tuyến tính nguyên không âm của3 và 7, tức là S = {3u + 7v | u, v ∈ Z≥0 } = {0, 3, 6, 7, 9, 10, 12, 13, 14, 15, 16, . . .}.Khi đó S là một ví dụ của nửa nhóm số: S tập con của Z≥0 mà đóng vớiphép cộng và Z≥0 \ S là tập hữu hạn. Đối với nửa nhóm số S = S(3, 7), taliên kết với nó một chuỗi lũy thừa hình thức sau đây, gọi là chuỗi Hilbertcủa S: XHS (x) = xs = 1 + x3 + x6 + x7 + x9 + x10 + x12 + x13 + x14 + · · · ∈ Z[[x]]. x∈STa nhân chuỗi HS (x) với (1 − x) ta sẽ nhận được một đa thức, gọi là đathức nửa nhóm của S: PS (x) =(1 − x)HS (x) =(1 − x)(1 + x3 + x6 + x7 + x9 + x10 )+ (1 − x)(x12 + x13 + x14 + · · · ) =(1 + x3 + x6 + x7 + x9 + x10 ) − (x + x4 + x7 + x8 + x10 + x11 ) + x12 =1 − x + x3 − x4 + x6 − x8 + x9 − x11 + x12 .Bằng tính toán trực tiếp ta kiểm tra được đẳng thức đáng ngạc nhiên sau 3 PS (x) = 1 − x + x3 − x4 + x6 − x8 + x9 − x11 + x12 x14 + x7 + 1 = 2 x +x+1 (x21 − 1)(x − 1) = 3 . (x − 1)(x7 − 1) (x21 − 1)(x − 1)Nhận xét rằng 3 bằng đa thức chia đường tròn Φ21 (x). Do (x − 1)(x7 − 1)vậy ta có PS(3,7) (x) = Φ21 (x).Như vậy ta thấy đa thức nửa nhóm của S(3, 7) bằng với đa thức chia đườngtròn Φ21 (x). Một kết quả cổ điển nói rằng ta vẫn có đẳng thức tương tựkhi ta thay cặp (3, 7) bởi cặp số nguyên tố phân biệt (p, q) và ta xét nửanhóm số tương ứng S(p, q), tức là ta vẫn có PS(p,q) (x) = Φpq (x). Mục đích của đề tài là tìm hiểu về chứng minh của kết quả này nói riêngvà tìm hiểu về mối liên hệ giữa nửa nhóm số dạng S(p, q) và đa thức chiađường tròn nói chung. Theo đó, luận văn có trình bày hai chứng minh chokết quả cổ điển nói trên, trong phiên bản bao gồm cả trường hợp cặp (p, q)không nhất thiết nguyên tố (xem Định lý 2.2.1), đồng thời có đưa ra mộtvài hệ quả. Đặc biệt luận văn còn trình một số ứng dụng trong việc xét sốcác gián đoạn một nửa nhóm số. Ngoài phần lời nói đầu, kết luận và tài liệu tham khảo luận văn gồm 3chương: Chương 1. Nửa nhóm số: Trong chương này chúng tôi trình bày địnhnghĩa nửa nhóm số và một số bất biến liên quan của nửa nhóm số như: sốFrobenius, chiều nhúng, bội, chuỗi Hilbert của nửa nhóm số, đa thức nửanhóm số. Chúng tôi chủ yếu sử dụng tài liệu [4] và [5] cho nội dung củachương này. 4 Chương 2. Mối liên hệ giữa nửa nhóm số và đa thức bù trừ:Trình bày một tổng quát hóa của đa thức chia đường tròn: Đa thức bù trừ,được giới thiệu bởi Bachman. Đồng thời trình bày một kết quả (folklore)về đa thức nửa nhóm số chiều nhúng 2 với đa thức bù trừ nhị phân. Chương 3. Một vài ứng dụng: Trong chương này chúng tôi đưa rađịnh nghĩa nửa nhóm số đối xứng và trình bày kết quả chứng minh mọinửa nhóm số với chiều nhúng 2 là đối xứng. Bên cạnh đó chúng tôi cũngtrình bày một số ứng dụng trong việc xét số các gián đoạn một nửa nhómsố và trình bày kết quả của Hong-Lee-Lee-Park về độ gián đoạn cực đạitrong đa thức chia đường tròn nhị phân. Luận văn được viết dựa theo bài báo Numerical semigroups, cyclotomicpolynomials, and Bernoulli numbers của tác giả P. Moree (2004) và mộtphần trong cuốn sách Numerical semigroups của tác giả J. C. Rosales andP. A. García-Sánchez (2009). Luận văn này được thực hiện tại Trường Đại học Khoa học - Đại họcThái Nguyên và hoàn thành dưới sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Duy Tân.Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới người hướngdẫn khoa học của mình, người đã đặt vấn đề nghiên cứu, dành nhiều thờigian hướng dẫn và tận tình giải đáp những thắ ...