Luận văn Thạc sĩ Toán học: Phương pháp biến phân trong việc tìm nghiệm của phương trình vi phân

Luận văn Thạc sĩ Toán học: Phương pháp biến phân trong việc tìm nghiệm của phương trình vi phân nhằm nghiên cứu sự tồn tại nghiệm không tầm thường của các bài toán; chỉ ra được điều kiện tồn tại nghiệm của bài toán nhờ sử dụng phương pháp biến phân. Mời bạn đọc cùng tham khảo.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Luận văn Thạc sĩ Toán học: Phương pháp biến phân trong việc tìm nghiệm của phương trình vi phân VI N KHOA H C VÀ CÔNG NGH VI T NAM VI N TOÁN H C DƯƠNG TR NG LUY N PHƯƠNG PHÁP BI N PHÂN TRONG VI C TÌM NGHI M C A PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN LU N VĂN TH C SĨ TOÁN H C HÀ N I - 2011 VI N KHOA H C VÀ CÔNG NGH VI T NAM VI N TOÁN H C DƯƠNG TR NG LUY N PHƯƠNG PHÁP BI N PHÂN TRONG VI C TÌM NGHI M C A PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Chuyên ngành: Toán gi i tích Mã s : 60.46.01 LU N VĂN TH C SĨ TOÁN H C Ngư i hư ng d n khoa h c: PGS.TSKH. Nguy n Minh Trí HÀ N I - 2011 L I GI I THI U Lý thuy t phương trình vi phân đ o hàm riêng đư c nghiên c u đ u tiên trong các công trình c a J.D’Alembert (1717 - 1783), L.Euler (1707 - 1783), D.Bernoulli (1700 - 1782), J.Lagrange (1736 - 1813), P.Laplace (1749 - 1827), S.Poisson (1781 - 1840) và J.Fourier (1768 - 1830), như là m t công c chính đ mô t cơ h c cũng như mô hình gi i tích c a v t lý. Vào gi a th k XIX v i s xu t hi n các công trình c a Riemann, lý thuy t phương trình vi phân đ o hàm riêng đã ch ng t là m t công c thi t y u c a nhi u ngành toán h c. Cu i th k XIX, H.Poincaré đã ch ra m i quan h bi n ch ng gi a lý thuy t phương trình vi phân đ o hàm riêng và các ngành toán h c khác. Sang th k XX, lý thuy t phương trình vi phân đ o hàm riêng phát tri n vô cùng m nh m nh có công c gi i tích hàm, đ c bi t là t khi xu t hi n lý thuy t hàm suy r ng do S.L. Sobolev và L.Schwartz xây d ng. Khi xét m t bài toán phương trình đ o hàm riêng (có th đó là m t bài toán biên, bài toán đi u ki n ban đ u, bài toán đi u ki n h n h p, ...) ta thư ng g p nh ng khó khăn khác nhau v nghi m c a nó nhưng nhìn chung các v n đ đ t ra đ i v i nghi m c a m t bài toán là: - S t n t i nghi m c a bài toán. - Tính duy nh t nghi m. - Tính trơn c a nghi m. M c đích c a lu n văn nghiên c u s t n t i nghi m không t m thư ng c a bài toán d ng:   L (u) + g (u) = ∆ u + f 2 (x) ∆ u + h2 (x) ∆ u + g (u) = 0 trong Ω, f,h x y z (2.3)  u = 0 trên ∂Ω, trong đó Ω là mi n gi i n i v i biên ∂Ω trơn trong Rn1 × Rn2 × Rn3 , v i n1 ≥ 1, n2 ≥ 1, n3 ≥ 1, và {0} ∈ Ω, g (u) ∈ C (R) , g (0) = 0, f (x) = f (x1 , ..., xn1 ) ∈ C 2 (Rn1 ) , h (x) = h (x1 , ..., xn1 ) ∈ C 2 (Rn1 ) , x = (x1 , .., xn1 ) , y = (y1 , ..., yn2 ) , z = (z1 , ..., zn3 ) , u (x, y, z) = u (x1 , .., xn1 , y1 , ..., yn2 , z1 , ..., zn3 ) , n1 n2 n3 ∂2 ∂2 ∂2 ∆x = , ∆y = 2 , ∆z = 2. j=1 ∂x2 j j=1 ∂yj j=1 ∂yj Lu n văn bao g m 2 chương chính sau đây: Chương 1 . Nghiên c u s t n t i nghi m không t m thư ng c a bài toán:  ∂2u 2  L (u) + g (u) = f ∂x2 + f 2 (x) ∂ u + g (u) = 0 trong Ω, ∂y 2 (1.1)  u = 0 trên ∂Ω, trong đó g (u) ∈ C (R) , g (0) = 0, f (x) ∈ C 2 (R), Ω là mi n gi i n i trong R2 v i biên ∂Ω trơn và {0} ∈ Ω. K t qu đ t đư c: Ch ra m t s trư ng h p đ c bi t c a hàm f (x), g(u) và mi n Ω mà bài toán (1.1) không có nghi m không t m thư ng, đ ng th i cũng ch ra s t n t i nghi m y u c a bài toán trên nh s d ng phương pháp bi n phân. Chương 2. M c đích chính c a chương là xét bài toán t ng quát:   L (u) + g (u) = ∆ u + f 2 (x) ∆ u + h2 (x) ∆ u + g (u) = 0 trong Ω, f,h x y z (2.3)  u = 0 trên ∂Ω, trong đó Ω là mi n gi i n i v i biên ∂Ω trơn trong Rn1 × Rn2 × Rn3 , v i n1 ≥ 1, n2 ≥ 1, n3 ≥ 1, và {0} ∈ Ω, g (u) ∈ C (R) , g (0) = 0, f (x) = f (x1 , ..., xn1 ) ∈ C 2 (Rn1 ) , h (x) = h (x1 , ..., xn1 ) ∈ C 2 (Rn1 ) , x = (x1 , .., xn1 ) , y = (y1 , ..., yn2 ) , z = (z1 , ..., zn3 ) , 2 u (x, y, z) = u (x1 , .., xn1 , y1 , ..., yn2 , z1 , ..., zn3 ) , n1 ...