Luận văn Thạc sĩ Toán học: Phương pháp giải tích trong lý thuyết rẽ nhánh

Luận văn Thạc sĩ Toán học: Phương pháp giải tích trong lý thuyết rẽ nhánh nhằm nghiên cứu sự rẽ nhánh bằng phương pháp giải tích để chỉ ra khi nào thì giá trị riêng của phần tuyến tính là nghiệm rẽ nhánh và tìm hiểu một vài ứng dụng của nó. Mời bạn đọc cùng tham khảo.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Luận văn Thạc sĩ Toán học: Phương pháp giải tích trong lý thuyết rẽ nhánhM cl cL i nói đ u 11 Ki n th c chu n b 9 1.1 Không gian Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2 Toán t liên h p, giá tr riêng, véc tơ riêng . . . . . . . . . . . . . 10 1.3 Toán t Fredholm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.4 Toán t liên t c Lipschitz, toán t th năng . . . . . . . . . . . . 12 1.5 Đ nh lý hàm n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 Phương pháp gi i tích trong lý thuy t r nhánh 13 2.1 Lý thuy t r nhánh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.2 Phương pháp gi i tích trong lý thuy t r nhánh . . . . . . . . . . . 17 2.2.1 M t vài kí hi u và b đ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.2.2 Các k t qu chính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333 ng d ng 50 3.1 Ki n th c b tr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 3.2 ng d ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52K t lu n 57 iL i nói đ u Lý thuy t r nhánh nghiên c u nh ng phương trình ph thu c tham s , đ cbi t nó tìm nh ng giá tr c a tham s mà t i đó c u trúc t p nghi m b thay đ i.Th i gian g n đây, lý thuy t này đư c s d ng nhi u đ gi i quy t nh ng v nđ n y sinh trong v t lý h c, sinh h c và nh ng môn khoa h c t nhiên khác.Nhi u k t qu c a lý thuy t r nhánh đã và đang gi i quy t có hi u qu nh ngv n đ n y sinh trong khoa h c cũng như trong th c t cu c s ng và vai trò c anó ngày càng tr nên quan tr ng hơn. Vi c nghiên c u nh ng nghi m r nhánhđ i v i phương trình phi tuy n ph thu c tham s đã đư c nhi u ngư i quantâm và nghiên c u trong nhi u đ tài khoa h c. V i m t tham s c a phươngtrình đã cho có nghi m, v i s thay đ i c a tham s , tính duy nh t c a nghi mcó khi không đư c b o đ m, nó có th có hai ho c nhi u nghi m khác nhau. Vm t toán h c ta có th mô t như sau: Cho F là m t hàm s trên tích c a không gian Metric (Λ, d) v i D là lânc n c a đi m 0 c a không gian đ nh chu n (X, . ) vào không gian đ nh chu n(Y, . ). Gi thi t r ng v i λ có v(λ) đ F (λ, v(λ)) = 0. B ng cách t nh ti n, tacó th gi thi t v(λ) = 0. M i nghi m (λ, 0) đư c g i là nghi m t m thư ng c a 1 L i nói đ u phương trình F (λ, v) = 0, (λ, v) ∈ Λ × D. (1) Ta s tìm nh ng nghi m t m thư ng (λ, 0) mà t i nh ng lân c n c a nó có tính ch t v i δ >0, >0 cho trư c, t n t i nghi m không t m thư ng (λ, u) ∈ Λ × D c a phương trình trên v i d(λ, λ) < δ và 0 < u < . Nghi m t m thư ng (λ, 0) này s đư c g i là nghi m r nhánh c a phương trình (1), λ đư c g i là đi m r nhánh. Nh ng bài toán nghiên c u nghi m r nhánh c a phương trình (1) đư c g i là bài toán r nhánh. Trong lý thuy t r nhánh, ngư i ta thư ng đ c p t i nh ng bài toán sau: (i) S t n t i nghi m r nhánh; (ii) T n t i nh ng nhánh nghi m; (iii) Tìm nh ng giá tr tham s t i đó tính duy nh t b phá v ; (iv) Nghiên c u tính n đ nh c a nghi m r nhánh; (v) Nghiên c u s nhánh nghi m; (vi) Nghiên c u c u trúc c a các t p nghi m r nhánh;(vii) Nghiên c u s r nhánh t i vô cùng;(viii) Nghiên c u s r nhánh toàn c c; Sau đây là m t s ví d v lý thuy t r nhánh trong ho t đông th c ti n: 1. Th i ti t; 2. Quá trình sinh trư ng c a sinh v t; 3. Dòng ch y c a các con sông; 4. Quá trình s ng, yêu đương và trư ng thành c a con ngư i; 2L i nói đ u 5. S phát tri n c a m t xã h i; 6. S phát tri n c a n n kinh t trong m t th i kỳ; 7. S phát tri n gen c a các t bào sinh v t; 8. Các ph n ng hóa h c, v t lý; Có r t nhi u phương pháp toán h c khác đ nghiên c u nh ng bài toán trênnhư:+ Phương pháp bi n phân đã đư c Wainberg và Krasnoselski đưa ra t nh ngnăm 50 c a th k trư c trong [13], [14], [15];+ Phương pháp Tôpô s d ng b c ánh x đã đư c Krasnoselski đưa ra trong[3], [6];+Phương pháp gi i tích cho nh ng toán t kh vi d a trên các đ nh lý hàm nđã đư c trình bày trong [4], [10]. M i phương pháp đư c ng d ng cho m t phương trình khác nhau. D a vàođ nh lý hàm n, ta d dàng th y r ng m i đi m r nhánh đ u là giá tr riêngc a ph n tuy n tính c a phương trình. Tuy nhiên không ph i giá tr riêng nàoc a ph n tuy n tính cũng là đi m r nhánh. Ví d : Xét h phương trình vi phân: u + λ(u + v(u2 + v 2 )) = 0, trong (0, 1) (2 ...