Luận văn Thạc sĩ Toán học: Phương pháp lai ghép tìm điểm bất động chung của một họ ánh xạ không giãn trong không gian Hilbert

Mục đích của luận văn này là trình bày lại một cách có hệ thống các kết quả của các tác giả Takahashi W., Takeuchi Y., Kubota R. trong tài liệu. Ngoài ra, trong luận văn xây dựng hai ví dụ số đơn giản được lập trình và thử nghiệm bằng phần mềm MATLAB nhằm minh họa thêm cho các phương pháp lặp. Mời các bạn tham khảo!
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Luận văn Thạc sĩ Toán học: Phương pháp lai ghép tìm điểm bất động chung của một họ ánh xạ không giãn trong không gian Hilbert ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THIÊN QUANG PHƯƠNG PHÁP LAI GHÉP TÌMĐIỂM BẤT ĐỘNG CHUNG CỦA MỘT HỌ ÁNH XẠ KHÔNG GIÃN TRONG KHÔNG GIAN HILBERT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60 46 01 12 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS. Trương Minh Tuyên Thái Nguyên – 2017 iiLời cảm ơn Bản luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn và chỉ bảo tậntình của TS. Trương Minh Tuyên, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc vàchân thành tới thầy. Tôi xin gửi lời cảm ơn đến Ban Giám hiệu, phòng Đào tạo, các thầy côtrong khoa Toán - Tin đã tham gia giảng dạy, truyền thụ kiến thức cho tôi.Đặc biệt là PGS.TS. Nguyễn Thị Thu Thủy đã dạy bảo và động viên tôihoàn thành tốt các nhiệm vụ trong cả quá trình học tập và nghiên cứu tạitrường Đại học Khoa học-Đại học Thái Nguyên. Tôi xin trân trọng cảm ơn Ban Giám hiệu trường THPT Diêm Điền cùngcác đồng nghiệp và gia đình đã giúp đỡ và tạo mọi điều kiện tốt nhất chotôi trong suốt thời gian qua. iiiMục lụcLời cảm ơn iiMột số ký hiệu và viết tắt ivMở đầu 1Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị 3 1.1. Một số đặc trưng của không gian Hilbert . . . . . . . . . . . 3 1.2. Ánh xạ không giãn và toán tử đơn điệu trong không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.2.1. Ánh xạ không giãn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.2.2. Nửa nhóm ánh xạ không giãn . . . . . . . . . . . . . 14 1.2.3. Toán tử đơn điệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16Chương 2 Một số phương pháp lai ghép tìm điểm bất động chung của một họ ánh xạ không giãn 22 2.1. Phương pháp chiếu co hẹp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.2. Phương pháp lai chiếu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.3. Một số ví dụ minh họa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35Kết luận 39Tài liệu tham khảo 40 ivMột số ký hiệu và viết tắt H không gian Hilbert X không gian Banach h., .i tích vô hướng trên H k.k chuẩn trên H ∪ phép hợp ∩ phép giao R+ tập các số thực không âm G(A) đồ thị của toán tử A D(A) miền xác định của toán tử A R(A) miền ảnh của toán tử A A−1 toán tử ngược của toán tử A I toán tử đồng nhất ∅ tập rỗng ∀x với mọi x ∃x tồn tại x αn & α0 dãy số thực {αn } hội tụ giảm về α0 xn −→ x0 dãy {xn } hội tụ mạnh về x0 xn * x0 dãy {xn } hội tụ yếu về x0 1Mở đầu Bài toán tìm điểm bất động chung của một họ hữu hạn hay vô hạn ánh xạkhông giãn trong không gian Hilbert hay không gian Banach là một trườnghợp riêng của bài toán chấp nhận lồi: Tìm một phần tử thuộc giao khácrỗng của một họ hữu hạn hay vô hạn các tập con lồi và đóng {Ci }i∈I củakhông gian Hilbert H hay không gian Banach E, với I là tập chỉ số bất kỳ.Bài toán này có nhiều ứng dụng quan trọng trong các lĩnh vực khoa học khácnhau như: Xử lí ảnh, khôi phục tín hiệu, vật lý, y học ... Khi Ci = F (Ti ),với F (Ti ) là tập điểm bất động của ánh xạ không giãn Ti , i = 1, 2, ..., N ,thì đã có nhiều phương pháp được đề xuất dựa trên các phương pháp lặpcổ điển nổi tiếng. Đó là các phương pháp lặp Kranoselskii, Mann, Ishikawa,Halpern, phương pháp xấp xỉ mềm hay các phương pháp sử dụng các siêuphẳng cắt... Năm 2008, các tác giả Takahashi W., Takeuchi Y., Kubota R. đã đưa ramột số phương pháp lai ghép bao gồm phương pháp lai chiếu và phươngpháp chiếu co hẹp kết hợp với phương pháp lặp Mann [6] cho bài toán tìmmột điểm bất động chung của một họ ánh xạ không giãn trong không gianHilbert. Ở đây, họ đã xây dựng một điều kiện mới (điều kiện NST (I)) môtả mối liên hệ giữa hai họ ánh xạ không giãn. Thông qua điều kiện này thìbài toán tìm điểm bất động chung của một họ ánh xạ không giãn (có thểhữu hạn hay vô hạn) được đưa về bài toán tìm điểm bất động chung củamột họ vô hạn đếm được các ánh xạ không giãn. Mục đích của luận văn này là trình bày lại một cách có hệ thống các kếtquả của các tác giả Takahashi W., Takeuchi Y., Kubota R. trong tài liệu[6]. Ngoài ra, trong luận văn chúng tôi cũng xây dựng hai ví dụ số đơn giản 2được lập trình và thử nghiệm bằng phần mềm MATLAB nhằm minh họathêm cho các phương pháp lặp. Nội dung chính của luận văn được trình bàytrong hai chương.Chương 1. Một số kiến thức chuẩn bị Trong chương này luận văn tập trung trình bày và làm rõ một số đặctrưng cơ bản của không gian Hilbert thực (các đẳng thức và bất đẳng thứccơ bản, phép chiếu mêtric, định lý tách các tập lồi, tính đóng yếu của mộttập con lồi đóng), ánh xạ không giãn, nửa nhóm ánh xạ không giãn và toántử đơn điệu trong không gian Hilbert.Chương 2. Một số phương pháp lai ghép tìm điểm bất động chungcủa một họ ánh xạ không giãn Nội dung chính của chương này là trình bày lại các kết quả của các tácgiả Takahashi W., Takeuchi Y., Kubota R. đã đưa ra một số phương pháplai ghép bao gồm phương pháp lai chiếu và phương pháp chiếu co hẹp kếthợp với phương pháp lặp Mann [6] cho bài toán tìm một điểm bất độngchung của một ...