Luận văn Thạc sĩ Toán học: Phương pháp lặp ẩn và phương pháp lặp hiện giải bài toán chấp nhận tách

Đề tài luận văn nghiên cứu bài toán chấp nhận tách và một số phương pháp giải: Cho C và Q là các tập con lồi đóng khác rỗng của không gian Hilbert tương ứng H1 và H2. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Luận văn Thạc sĩ Toán học: Phương pháp lặp ẩn và phương pháp lặp hiện giải bài toán chấp nhận tách ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TRẦN HỒNG NHÂN PHƯƠNG PHÁP LẶP ẨN VÀ PHƯƠNG PHÁP LẶP HIỆN GIẢI BÀI TOÁN CHẤP NHẬN TÁCH LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2017 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TRẦN HỒNG NHÂN PHƯƠNG PHÁP LẶP ẨN VÀ PHƯƠNG PHÁP LẶP HIỆN GIẢI BÀI TOÁN CHẤP NHẬN TÁCH Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60 46 01 12 TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2017 i Mục lục Danh sách ký hiệu ii Mở đầu 1 1 Một số kiến thức cơ bản 4 1.1 Bài toán chấp nhận tách trong không gian Hilbert . . . . . 4 1.1.1 Không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.2 Bài toán chấp nhận tách trong không gian Hilbert . 16 1.2 Một số bổ đề cần thiết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 Phương pháp lặp ẩn và phương pháp lặp hiện giải bài toán chấp nhận tách 21 2.1 Phương pháp lặp ẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.1.1 Mô tả phương pháp . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.1.2 Sự hội tụ của phương pháp . . . . . . . . . . . . . 22 2.2 Phương pháp lặp hiện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.2.1 Mô tả phương pháp . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.2.2 Sự hội tụ của phương pháp . . . . . . . . . . . . . 26 Tài liệu tham khảo 38 ii Danh sách ký hiệu Trong toàn luận văn, ta dùng những ký hiệu với các ý nghĩa xác định trong bảng dưới đây: R tập số thực H không gian Hilbert thực X không gian tuyến tính C tập con đóng lồi của H A toán tử tuyến tính giới nội T toán tử phi tuyến hx, yi tích vô hướng của hai vectơ x và y kxk chuẩn của vectơ x xn → x xn hội tụ mạnh đến x xn * x xn hội tụ yếu x F ix(T ) tập điểm bất động của T I ánh xạ đơn vị PC phép chiếu từ H lên C KM Krasnosel’skii-Mann 1 Mở đầu Đề tài luận văn nghiên cứu bài toán chấp nhận tách và một số phương pháp giải: Cho C và Q là các tập con lồi đóng khác rỗng của không gian Hilbert tương ứng H1 và H2 . Bài toán chấp nhận tách được phát biểu: Tìm điểm x∗ với tính chất x∗ ∈ C và Ax∗ ∈ Q, (1) ở đây A : H1 → H2 là toán tử tuyến tính giới nội. Bài toán chấp nhận tách trong không gian Hilbert hữu hạn chiều đã được đề xuất bởi Censor và Flfving để mô hình hóa bài toán ngược xuất hiện trong khôi phục ảnh và trong y học. Mới đây, người ta tìm thấy bài toán này cũng có thể dùng để mô hình hóa sự bức xạ. Lưu ý rằng bài toán chấp nhận tách (1) có thể phát biểu dưới dạng phương trình bất động PC I − γAT (I − PQ ) A x∗ = x∗ . (2)
ở đây, AT là ánh xạ đối ngẫu của A, PC và PQ là các phép chiếu mêtric tương ứng lên C và Q. Ta thấy, x∗ là nghiệm của bài toán chấp nhận tách (1) khi và chỉ khi x∗ là điểm bất động của PC I − γAT (I − PQ ) A . Từ đó
suy ra rằng ta có thể sử dụng các phương pháp tìm điểm bất động giải bài toán chấp nhận tách. Một thuật toán cơ bản giải bài toán (1) là thuật toán CQ của Byrne. Thuật toán này sử dụng một phương pháp chiếu gradient (GPM) trong bài toán cực tiểu lồi. Tiếp đó, Byrne áp dụng bước lặp cho 2 thuật toán CQ và Zhao sử dụng bước lặp cho thuật toán CQ nhiễu giải bài toán chấp nhận tách. Chúng ta biết rằng thuật toán CQ và thuật toán KM cho bài toán chấp nhận tách không nhất thiết hội tụ mạnh trong không gian Hilbert vô hạn chiều. Mới đây, Wang và Xu đề xuất thuật toán CQ cải biên với sự hội tụ mạnh bằng cách đưa vào đường cong xấp xỉ cho bài toán chấp nhận tách trong không gian Hilbert vô hạn chiều và nhận được nghiệm có chuẩn cực tiểu của bài toán chấp nhận tách là giới hạn mạnh của đường cong xấp xỉ. Luận văn này được thực hiện tại Trường Đại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên và hoàn thành dưới sự hướng dẫn của GS. TS. Nguyễn Bường. Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới người hướng dẫn khoa học của mình, người đã đặt vấn đề nghiên cứu, dành nhiều thời gian hướng dẫn và tận tình giải đáp những thắc mắc của tác giả trong suốt quá trình làm luận văn. Tác giả cũng đã học tập được rất nhiều kiến thức chuyên ngành bổ ích cho công tác và nghiên cứu của bản thân. Tác giả xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới các Thầy giáo, Cô giáo đã tham gia giảng dạy lớp Cao học Toán K9Y (khóa 2015–2017); Nhà trường và các phòng chức năng của Trường; Khoa Toán – Tin, trường Đại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên, lãnh đạo đơn vị công tác đã quan tâm và giúp đỡ tác giả trong suốt thời gian học tập. Tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn tới tập thể lớp Cao học Toán K9Y (khóa 2015–2017), các đồng nghiệp đã luôn động viên và giúp đỡ tác giả rất nhiều trong quá trình học tập, nghiên cứu. Cuối cùng, tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè đã động viên, giúp đỡ và tạo điều kiện tốt nhất cho tôi khi học tập và nghiên cứu. 3 Thái Nguyên, ngày 10 tháng 11 năm 2017 Tác giả luận văn Trần Hồng Nhân 4 Chương 1 Một số kiến thức cơ bản Chương này g ...