Luận văn Thạc sĩ Toán học: Phương pháp lặp giải bài toán biên cho phương trình vi phân phi tuyến cấp 4

Mục tiêu của luận văn là tìm hiểu cơ sở toán học của việc xây dựng các sơ đồ lặp dựa trên dãy lặp đơn điệu và phương pháp dựa trên phương trình toán tử, tìm hiểu các thuật toán xây dựng và giải các hệ phương trình lưới từ đó cài đặt các chương trình tìm nghiệm xấp xỉ của bài toán phi tuyến tính cấp 4 được mô tả bằng các sơ đồ lặp thông qua các ví dụ cụ thể. Mời các bạn tham khảo!
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Luận văn Thạc sĩ Toán học: Phương pháp lặp giải bài toán biên cho phương trình vi phân phi tuyến cấp 4 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– HÀ HOÀNG VIỆTPHƯƠNG PHÁP LẶP GIẢI BÀI TOÁN BIÊN CHO PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN PHI TUYẾN CẤP 4 THÁI NGUYÊN, 10/2018 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– HÀ HOÀNG VIỆTPHƯƠNG PHÁP LẶP GIẢI BÀI TOÁN BIÊN CHO PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN PHI TUYẾN CẤP 4 Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 846 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN TS. VŨ VINH QUANG THÁI NGUYÊN, 10/2018 1Mục lụcDanh mục các ký hiệu, các chữ viết tắt 3Danh mục các bảng 4Danh mục các hình vẽ, đồ thị 5Lời nói đầu 6Chương 1 Một số kiến thức cơ bản 9 1.1. Một số kiến thức cơ bản về phương pháp lưới . . . . 9 1.1.1. Lưới sai phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.1.2. Hàm lưới . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.1.3. Đạo hàm lưới . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.1.4. Quy ước viết vô cùng bé . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.1.5. Công thức Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.1.6. Liên hệ giữa đạo hàm và hàm lưới . . . . . . . . . . . . 11 1.2. Phương pháp số giải bài toán Cauchy . . . . . . . . . . 12 1.2.1. Phương pháp Euler 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.2.2. Phương pháp Euler 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.2.3. Thuật toán RK4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.3. Phương pháp số giải bài toán biên cho phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 với độ chính xác cấp cao . . 15 1.3.1. Thuật toán truy đuổi 3 đường chéo . . . . . . . . . . . 15 1.3.2. Phương pháp xấp xỉ đạo hàm với độ chính xác bậc cao 17 1.3.3. Lược đồ sai phân giải bài toán biên cho phương trình cấp hai với độ chính xác bậc cao . . . . . . . . . . . . . 21Chương 2 Phương pháp lặp giải bài toán biên cho phương trình vi phân phi tuyến cấp bốn 26 2.1. Mô hình bài toán phi tuyến tổng quát . . . . . . . . . 26 2.2. Mô hình bài toán phi tuyến cấp 4 với hệ điều kiện biên thuần nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2 2.2.1. Sự tồn tại duy nhất nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.2.2. Phương pháp lặp xây dựng dãy lặp đơn điệu . . . . . . 31 2.3. Mô hình bài toán phi tuyến cấp 4 với hệ điều kiện đầu thuần nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.3.1. Mô hình bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.3.2. Sự tồn tại và duy nhất của nghiệm . . . . . . . . . . . 33Chương 3 Một số kết quả thực nghiệm 41 3.1. Mô hình bài toán cấp 4 phi tuyến với giá trị biên . . 41 3.2. Mô hình bài toán cấp 4 phi tuyến với giá trị ban đầu 47Kết luận 54Tài liệu tham khảo 55Phần phụ lục 57 3Danh mục các ký hiệu, các chữviết tắtN Lưới sai phânΩk Không gian lướiρ(h) Vô cùng bé so với hhα Vô cùng bé bậc α∆x Số gia hàmRK4 Phương pháp Runge-KuttaA Ma trận Aij cấp n × nPn (x) Đa thức bậc nLk (x) Nhân tử Lagrange bậc kkvk Chuẩn trong không gian RnG(x, t) Hàm GreenB[O, M ] Hình cầu tâm O, bán kính MR+ Nửa dương của đường thẳng thực 4Danh mục các bảng Bảng 1.1: Sai số ε trên lưới điểm c0 = 1; c1 = 2; d0 = 2; d1 = 3 Bảng 1.2: Sai số ε trên lưới điểm c0 = 1; c1 = 0; d0 = 1; d1 = 0 Bảng 3.1: Giá trị sai số ε, số điểm lưới N = 100 (Bài toán 3.1) Bảng 3.2: Giá trị sai số ε, số điểm lưới N = 100 (Bài toán 3.2) Bảng 3.3: Giá trị sai số ε, số điểm lưới N = 100 (Bài toán 3.3) Bảng 3.4: Giá trị sai số ε, số điểm lưới N = 100 (Bài toán 3.4) Bảng 3.5: Giá trị sai số ε, số điểm lưới N = 100 (Bài toán 3.5) Bảng 3.6: Giá trị sai số ε, số điểm lưới N = 100 (Bài toán 3.6) Bảng 3.7: Giá trị sai số ε, số điểm lưới N = 100 (Bài toán 3.7) Bảng 3.8: Giá trị sai số ε, số điểm lưới N = 10 ...