Luận văn Thạc sĩ Toán học: Phương pháp lặp giải bài toán chấp nhận tách tổng quát trong không gian Hilbert

Luận văn trình bày phương pháp lặp giải bài toán chấp nhận tách tổng quát trong không gian Hilbert, trình bày một số định lý hội tụ, các kết quả cơ bản và áp dụng. Mời các bạn tham khảo!
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Luận văn Thạc sĩ Toán học: Phương pháp lặp giải bài toán chấp nhận tách tổng quát trong không gian Hilbert ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC HOÀNG TRUNG THÔNG PHƯƠNG PHÁP LẶPGIẢI BÀI TOÁN CHẤP NHẬN TÁCH TỔNG QUÁT TRONG KHÔNG GIAN HILBERT Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC GS.TS. NGUYỄN BƯỜNG THÁI NGUYÊN - 2016 iMục lụcBảng ký hiệu iiiMở đầu 1Chương 1. Một số kiến thức bổ trợ 3 1.1 Không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.2 Một số ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.3 Một số tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2 Hàm lồi và dưới vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2.1 Tập lồi. Hàm lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2.2 Dưới vi phân hàm lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.3 Toán tử trong không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.3.1 Toán tử đơn điệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.3.2 Toán tử tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.4 Điểm bất động của ánh xạ không giãn . . . . . . . . . . . . 13 1.4.1 Ánh xạ không giãn và điểm bất động . . . . . . . . . 13 1.4.2 Phương pháp lặp Mann tìm điểm bất động của ánh xạ không giãn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15Chương 2. Phương pháp lặp giải bài toán chấp nhận táchtổng quát trong không gian Hilbert 17 2.1 Bài toán chấp nhận tách . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.1.1 Phát biểu bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.1.2 Một số bổ đề bổ trợ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ii 2.2 Phương pháp giải bài toán chấp nhận tách . . . . . . . . . . 22 2.2.1 Giới thiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.2.2 Sự hội tụ của phương pháp . . . . . . . . . . . . . . 27 2.2.3 Một ví dụ áp dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36Kết luận 40Tài liệu tham khảo 41 iiiBảng ký hiệu Trong toàn luận văn, ta dùng những ký hiệu với các ý nghĩa xác địnhtrong bảng dưới đây: N tập số nguyên không âm N∗ tập số nguyên dương R tập số thực H không gian Hilbert thực C tập con đóng lồi của H ∅ tập rỗng ∀x mọi x ∃x tồn tại x hx, yi tích vô hướng của hai véctơ x và y kxk chuẩn của véctơ x xn → x xn hội tụ mạnh đến x xn * x xn hội tụ yếu x T toán tử đơn điệu trong không gian Hilbert I toán tử đồng nhất trong H Jr toán tử giải của T P phép chiếu mêtric từ H lên T −1 0 lim supn→∞ xn giới hạn trên của dãy số {xn } lim inf n→∞ xn giới hạn dưới của dãy số {xn } ∂f dưới vi phân của hàm lồi f 1Mở đầu Bài toán chấp nhận tách tổng quát đóng vai trò đặc biệt quan trọngtrong việc mô hình hóa nhiều bài toán ngược xuất hiện trong thực tế nhưbài toán nén hình ảnh, chụp hình cộng hưởng từ, mạng nơ ron, khôi phụcảnh. Một trong những phương pháp đã và đang được nhiều tác giả sửdụng để giải bài toán chấp nhận tách là phương pháp chiếu trong đó cầnphải thực hiện phép chiếu mêtric lên các tập con lồi đóng của không gianHilbert. Tuy nhiên, việc tính ảnh của ánh xạ chiếu mêtric trên một tập lồiđóng bất kỳ cũng không dễ thực thi. Do vậy, việc xây dựng các phươngpháp xấp xỉ điểm bất động để giải bài toán chấp nhận tách là hướngnghiên cứu được nhiều nhà toán học quan tâm. Nhiều kết quả công bốgần đây về phương pháp giải cho lớp bài toán này thường đòi hỏi tính liêntục Lipschitz và hệ số Lipschitz của ánh xạ. Tuy nhiên trong thực hànhtính toán, việc tính hệ số Lipschitz thường khá phức tạp và tốn kém, dẫnđến việc cần thiết phải cải tiến và loại bỏ điều kiện này để xây dựng cácphương pháp giải hiệu quả hơn. Đề tài của luận văn là phương pháp lặp giải bài toán chấp nhận táchtổng quát trong không gian Hilbert. Đây là một đề tài vừa có ý nghĩa vềmặt lý thuyết, đồng thời vừa có ý nghĩa thực tiễn cao. Nội dung của bảnluận văn được ...