Luận văn Thạc sĩ Toán học: Phương pháp lặp hiện lai ghép đường dốc nhất giải bất đẳng thức biến phân

Luận văn trình bày phương pháp lặp hiện lai ghép đường dốc nhất giải bất đẳng thức biến phân trên tập điểm bất động chung của nửa nhóm ánh xạ không giãn trong không gian Banach. Mời các bạn tham khảo!
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Luận văn Thạc sĩ Toán học: Phương pháp lặp hiện lai ghép đường dốc nhất giải bất đẳng thức biến phân ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– NGUYỄN QUỐC VIỆT PHƯƠNG PHÁP LẶP HIỆN LAI GHÉP ĐƯỜNG DỐC NHẤTGIẢI BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN, 5/2017 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– NGUYỄN QUỐC VIỆT PHƯƠNG PHÁP LẶP HIỆN LAI GHÉP ĐƯỜNG DỐC NHẤTGIẢI BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN PGS.TS. NGUYỄN THỊ THU THỦY THÁI NGUYÊN, 5/2017 iiiMục lụcBảng ký hiệu 1Mở đầu 2Chương 1. Bất đẳng thức biến phân j-đơn điệu 5 1.1 Không gian Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.1 Không gian Banach phản xạ, lồi và trơn . . . . . . 5 1.1.2 Ánh xạ j-đơn điệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.1.3 Giới hạn Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.2 Bất đẳng thức biến phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.2.1 Bất đẳng thức biến phân đơn điệu . . . . . . . . . 16 1.2.2 Bất đẳng thức biến phân j-đơn điệu . . . . . . . . 18Chương 2. Phương pháp lặp hiện lai ghép đường dốc nhất giải bất đẳng thức biến phân j-đơn điệu 21 2.1 Nửa nhóm ánh xạ không giãn . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.1.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.1.2 Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.2 Phương pháp lặp hiện lai ghép đường dốc nhất . . . . . . 25 2.2.1 Phương pháp lai ghép đường dốc nhất của Yamada 25 2.2.2 Phương pháp lặp hiện lai ghép đường dốc nhất . . 27 2.3 Ví dụ minh họa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35Kết luận 37Tài liệu tham khảo 38 1Bảng ký hiệuH không gian Hilbert thựcE không gian BanachE∗ không gian đối ngẫu của ESE mặt cầu đơn vị của ER tập các số thực∀x với mọi xD(A) miền xác định của ánh xạ AR(A) miền ảnh của ánh xạ AI ánh xạ đồng nhấtlp , 1 < p < ∞ không gian các dãy số khả tổng bậc pLp [a, b], 1 < p < ∞ không gian các hàm khả tích bậc p trên đoạn [a, b]d(x, C) khoảng cách từ phần tử x đến tập hợp Clim supn→∞ xn giới hạn trên của dãy số {xn }lim inf n→∞ xn giới hạn dưới của dãy số {xn }xn → x0 dãy {xn } hội tụ mạnh về x0xn * x0 dãy {xn } hội tụ yếu về x0J ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắcj ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc đơn trịFix(T ) tập điểm bất động của ánh xạ T∂f dưới vi phân của hàm lồi f 2Mở đầu Cho H là một không gian Hilbert thực, C là một tập con lồi đóngcủa H và F : H → H là một ánh xạ. Bài toán bất đẳng thức biến phâncổ điển (classical variational inequality) được phát biểu như sau: Tìm điểm p∗ ∈ C thỏa mãn: hF p∗ , p − p∗ i ≥ 0 ∀p ∈ C. (1)Bài toán bất đẳng thức biến phân được nhà toán học người Italia, Stam-pacchia (xem [10] và [15]), nghiên cứu và đưa ra đầu tiên vào cuối nhữngnăm 60 và đầu những năm 70 của thế kỷ trước. Từ đó đến nay, bất đẳngthức biến phân luôn là một đề tài thời sự, thu hút được nhiều nhà toánhọc quan tâm nghiên cứu do vai trò quan trọng của bài toán trong lýthuyết toán học cũng như trong nhiều ứng dụng thực tế. Khi tập ràng buộc C của bài toán (1) được cho dưới dạng ẩn là tậpđiểm bất động chung của một họ (hữu hạn hoặc vô hạn) các ánh xạkhông giãn thì bài toán (1) còn có nhiều ứng dụng trong các bài toánthực tế như xử lý tín hiệu, khôi phục ảnh, phân phối băng thông và bàitoán điều khiển tối ưu. . . . Đối với lớp bài toán này, phương pháp laighép đường dốc nhất của Yamada đề xuất năm 2001 (xem [17]) tỏ ra làphương pháp khá hiệu quả khi ánh xạ F : H → H là ánh xạ đơn điệumạnh và liên tục Lipschitz trên không gian Hilbert H. Phương pháp nàyđã khắc phục được khó khăn của việc thực hiện phép chiếu mêtric PCchiếu H lên tập con lồi đóng bất kỳ C của H khi dùng dãy lặp Picarddạng xn+1 = PC (xn − λn F xn ) để giải, ở đây {λn } là dãy tham số thỏamãn một số điều kiện nhất định. Dựa trên cách tiếp cận của Yamada, đã có nhiều nghiên cứu nhằmmở rộng và cải biên phương pháp ...