Luận văn Thạc sĩ Toán học: Phương pháp phương trình đại số chứng minh các hệ thức lượng giác

Ta có một nhịp cầu nối Đại số (phương trình và hàm số) với Lượng giác (các hệ thức của hàm số lượng giác có liên quan đặc biệt). Đây chính là điểm mới và khác biệt của luận văn này so với các luận văn đã có về hệ thức lượng giác. Ý tưởng sử dụng các tính chất nghiệm của phương trình đại số để phát hiện và chứng minh các hệ thức lượng giác có lẽ lần đầu tiên được trình bày một cách hệ thống trong bài báo "Phát hiện và chứng minh các đẳng thức lượng giác nhờ phương trình đại số".
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Luận văn Thạc sĩ Toán học: Phương pháp phương trình đại số chứng minh các hệ thức lượng giác ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC --------------------------- NGUYỄN THỊ KIM ANH PHƢƠNG PHÁP PHƢƠNG TRÌNH ĐẠI SỐCHỨNG MINH CÁC HỆ THỨC LƢỢNG GIÁC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2018 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC --------------------------- NGUYỄN THỊ KIM ANH PHƢƠNG PHÁP PHƢƠNG TRÌNH ĐẠI SỐCHỨNG MINH CÁC HỆ THỨC LƢỢNG GIÁC Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 8460113 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS. Tạ Duy Phượng THÁI NGUYÊN - 2018 3Mục lụcMở đầu 5Chương 1 Phương pháp phương trình bậc hai chứng minh các hệ thức lượng giác 9 1.1. Các tính chất nghiệm của phương trình bậc hai . . . . . . . . . . . 9 1.2. Xây dựng phương trình bậc hai mới từ phương trình bậc hai đã biết 11 2π 4π 1.3. Phương trình bậc hai liên quan đến giá trị lượng giác của , . 12 5 5 2π 4π 1.3.1. Các mệnh đề liên quan đến giá trị lượng giác của , . 12 5 5 2π 4π 1.3.2. Các hệ thức liên qua đến giá trị lượng giác của , . . . 14 5 5 π 1.4. Phương trình bậc hai liên quan đến giá trị lượng giác của góc . 20 π 12 1.4.1. Các mệnh đề liên quan đến giá trị lượng giác của góc . 20 12 π 1.4.2. Các hệ thức liên quan đến giá trị lượng giác của góc . . 21 12Chương 2 Phương pháp phương trình bậc ba chứng minh các hệ thức lượng giác 23 2.1. Các tính chất nghiệm của phương trình bậc ba . . . . . . . . . . . 23 2.2. Xây dựng phương trình bậc ba mới từ phương trình bậc ba đã biết 26 2.3. Phương trình bậc ba liên quan đến các giá trị lượng giác của các π 5π 7π góc , , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 18 18 18 2.3.1. Các mệnh đề liên qua đến giá trị lượng giác của các góc π 5π 7π , , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 18 18 18 4 2.3.2. Các hệ thức liên qua đến giá trị lượng giác của các góc π 5π 7π , , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 18 18 18 2.4. Phương trình bậc ba liên quan đến các giá trị lượng giác của các π 3π 5π góc , , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 7 7 7 2.4.1. Các mệnh đề liên quan đến giá trị lượng giác của các góc π 3π 5π , , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 7 7 7 2.4.2. Các đẳng thức liên quan đến giá trị lượng giác của các góc π 3π 5π , , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 7 7 7Chương 3 Phương pháp phương trình bậc bốn chứng minh các hệ thức lượng giác 51 3.1. Các tính chất nghiệm của phương trình bậc bốn . . . . . . . . . . 51 3.2. Xây dựng phương trình bậc bốn mới từ phương trình bậc bốn đã có 53 3.3. Phương trình bậc bốn liên quan đến các giá trị lượng giác của các π 3π 5π 7π góc , , , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 8 8 8 8 3.3.1. Các mệnh đề liên quan đến giá trị lượng giác của các góc π 3π 5π 7π , , , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 8 8 8 8 3.3.2. Các hệ thức liên quan đến giá trị lượng giác của các góc π 3π 5π 7π , , , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 8 8 8 8 3.4. Phương trình bậc bốn liên quan đến các giá trị lượng giác của các π 5π 9π 13π góc , , , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 16 16 16 16 3.4.1. Các mệnh đề liên quan đến giá trị lượng giác của các góc π 5π 9π 13π , , , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 16 16 16 16 3.4.2. Các đẳng thức liên quan đến giá trị lượng giác của các góc π 5π 9π 13π , , , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 16 16 16 16Kết luận 73Tài liệu tham khảo 74 5Mở đầu1. Lí do chọn đề tài Xét ba bài toán sau đây.Bài toán 1 (Olympic Moskva, 1939, vòng 1) Chứng minh rằng 2π 4π 1 cos + cos =− . (1) ...