Luận văn Thạc sĩ Toán học: Phương thức bình phương tối thiểu

Trong luận văn này, tác giả chỉ nghiên cứu về phương pháp bình phương tối thiểu cho hệ phương trình tuyến tính. Cụ thể là, tác giả sẽ tập trung trình bày một cách hệ thống một số tính chất của nghiệm bình phương tối thiểu, phương pháp phân tích giá trị kỳ dị và một số ứng dụng trong đại số tuyến tính và giải bài toán ngược.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Luận văn Thạc sĩ Toán học: Phương thức bình phương tối thiểuBỘ GIÁO DỤC VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌCVÀ ĐÀO TẠO VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ − − − − − − − − − − − − − − − − − − −− Lê Thị Ngọc Quỳnh PHƯƠNG PHÁP BÌNH PHƯƠNG TỐI THIỂU LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - 2020BỘ GIÁO DỤC VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ ĐÀO TẠO VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ − − − − − − − − − − − − − − − − − − −− Lê Thị Ngọc Quỳnh PHƯƠNG PHÁP BÌNH PHƯƠNG TỐI THIỂUChuyên ngành: Toán Giải tíchMã số: 8 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS. TSKH. ĐINH NHO HÀO Hà Nội - 2020 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan những gì viết trong luận văn là do sự tìm tòi, học hỏi củabản thân và sự hướng dẫn tận tình của thầy Đinh Nho Hào. Mọi kết quả nghiêncứu cũng như ý tưởng của tác giả khác, nếu có đều được trích dẫn cụ thể. Đề tàiluận văn này cho đến nay chưa được bảo vệ tại bất kỳ một hội đồng bảo vệ luậnvăn thạc sĩ nào và cũng chưa hề được công bố trên bất kỳ một phương tiện nào.Tôi xin chịu trách nhiệm về những lời cam đoan. Hà Nội, tháng 11 năm 2020. Học viên Lê Thị Ngọc Quỳnh LỜI CẢM ƠN Đầu tiên, tôi xin được tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất của mình tới GS. TSKH.Đinh Nho Hào, người trực tiếp hướng dẫn tôi tìm ra hướng nghiên cứu. Luậnvăn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình của thầy trong một thờigian dài. Thầy đã luôn quan tâm, giúp đỡ, động viên tôi trong suốt quá trình họctập và nghiên cứu. Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy cô, anh chị, bạn bè của Viện Toán họcvì sự giúp đỡ, góp ý và tạo điều kiện trong quá trình học tập, nghiên cứu để tôithực hiện tốt luận văn của mình. Tôi cũng xin trân trọng cảm ơn sự giúp đỡ và tạo điều kiện thuận lợi của cơsở đào tạo là Học viện Khoa học và Công nghệ, Viện Hàn lâm Khoa học vàCông nghệ Việt Nam trong quá trình thực hiện luận văn. Đặc biệt, tôi xin cảm ơn gia đình, người thân và bạn bè đã luôn sát cánh,động viên và khích lệ tôi trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu. Hà Nội, tháng 11 năm 2020. Học viên Lê Thị Ngọc QuỳnhMục lụcLời cam đoanLời cảm ơnMục lụcMỞ ĐẦU 11 Một số kiến thức cơ sở 22 Phương pháp bình phương tối thiểu 11 2.1 Nghiệm bình phương tối thiểu của phương trình toán tử và một số tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.2 Phân tích giá trị kỳ dị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.2.1 Toán tử compact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.2.2 Phổ của toán tử compact tự liên hợp . . . . . . . . . . . . 23 2.2.3 Phân tích giá trị kỳ dị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.3 Tiêu chuẩn Picard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363 Ứng dụng của phương pháp bình phương tối thiểu 40 3.1 Phân tích giá trị kỳ dị cho ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 3.2 Ứng dụng của phương pháp bình phương tối thiểu trong không gian hữu hạn chiều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 3.3 Ứng dụng của phân tích kỳ dị trong nghiên cứu bài toán ngược . . 54Kết luận 61Tài liệu tham khảo 62 1 MỞ ĐẦU Giải tích số hay còn gọi là phương pháp số là một môn khoa học thuộclĩnh vực Toán ứng dụng, nhằm mục đích nghiên cứu cách giải gần đúng cácphương trình, các bài toán xấp xỉ, các bài toán tối ưu, . . .. Trong việc giải gầnđúng nghiệm của phương trình, tôi xin đề cập trong luận văn này của mìnhphương pháp bình phương tối thiểu cho việc giải hệ phương trình tuyến tính.Bình phương tối thiểu tuyến tính là một kỹ thuật để xấp xỉ một nghiệm gầnđúng cho một hệ phương trình tuyến tính với các dữ kiện không chính xác cũngnhư được ứng dụng rộng rãi trong thống kê. Hệ phương trình trong trường hợpđang xét này thường là hệ mà có số phương trình lớn hơn số biến. Các bài toán bình phương tối thiểu được chia thành hai loại: bình phương tốithiểu tuyến tính và bình phương tối thiểu phi tuyến. Trong luận văn này, tôi chỉnghiên cứu về phương pháp bình phương tối thiểu cho hệ phương trình tuyếntính. Cụ thể là, chúng tôi sẽ tập trung trình bày một cách hệ thống một số tínhchất của nghiệm bình phương tối thiểu, phương pháp phân tích giá trị kỳ dị vàmột số ứng dụng trong đại số tuyến tính và giải bài toán ngược. Luận văn đượcchia làm ba chương như sau: Chương 1: Chương này chúng tôi sẽ nhắc lại một số định nghĩa, định lý vàtính chất quan trọng của Giải tích hàm phục vụ cho luận văn này. Chương 2: Nội dung phần này trình bày định nghĩa, tính chất của nghiệmbình phương tối thiểu, nghịch đảo suy rộng và chứng minh tiêu chuẩn Picard,cái có mối liên hệ quan trọng với phương pháp bình phương tối thiểu và trongviệc phân tích giá trị kỳ dị. Chương 3: Trong chương này, chúng tôi trình bày ứng dụng của phương phápbình phương tối thiểu trong đại số tuyến tính và bài toán ngược.CHƯƠNG 1Một số kiến thức cơ sở Trong chương này chúng tôi trình bày một số khái niệm và tính chất quan ...