Luận văn Thạc sĩ Toán học: Phương trình sai phân suy biến chỉ số 1 và bài toán điều khiển tối ưu dạng tuyến tính – toàn phương

Luận văn giới thiệu điều kiện cần cho bài toán điều khiển tối ưu rời rạc mô tả bởi phương trình sai phân thường. Ngoài ra, chúng tôi giới thiệu các khái niệm về phương trình sai phẩn tuyến tính ẩn chỉ số 1, phương trình dưới liên hợp có chỉ số 1 và công thức nghiệm cho bài toán giá trị ban đầu, bài toán điều kiện cuối. Mời các bạn tham khảo!
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Luận văn Thạc sĩ Toán học: Phương trình sai phân suy biến chỉ số 1 và bài toán điều khiển tối ưu dạng tuyến tính – toàn phương ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ------------------- NGUYỄN THÀNH CHIÊUPHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN SUY BIẾN CHỈ SỐ 1 VÀ BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN TỐI ƯU DẠNG TUYẾN TÍNH – TOÀN PHƯƠNG LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội – 2014 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ------------------- NGUYỄN THÀNH CHIÊUPHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN SUY BIẾN CHỈ SỐ 1 VÀ BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN TỐI ƯU DẠNG TUYẾN TÍNH – TOÀN PHƯƠNG Chuyên ngành: Toán học tính toán Mã số: 60460112 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS.TSKH. PHẠM KỲ ANH Hà Nội – 2014 1 LỜI CẢM ƠN Luận văn được thực hiện và hoàn thành tại Khoa Toán - Cơ - Tin học,Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc Gia Hà Nội dưới sựhướng dẫn tận tình chu đáo của GS. TSKH. Phạm Kỳ Anh. Tác giả xinbày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới GS. TSKH. Phạm Kỳ Anh đã luôn hướngdẫn và chỉ bảo chu đáo, tận tình, nghiêm khắc trong suốt quá trình tácgiả nghiên cứu luận văn. Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, Khoa Sau đại học, Banchủ nhiệm Khoa Toán - Cơ - Tin học, Phòng Đào tạo, Phòng CTCT - SV,trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội đã tạo điềukiện thuận lợi và giúp đỡ trong thời gian tác giả học tập và nghiên cứu. Cuối cùng, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tới những người thân vàbạn bè đã ưu ái, giúp đỡ, động viên, khích lệ để tác giả hoàn thành luậnvăn này. Hà Nội, ngày 20 tháng 11 năm 2014. Học viên Nguyễn Thành ChiêuMục lụcLỜI CẢM ƠN 1DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU 41 Một số kiến thức chuẩn bị 7 1.1 Bài toán điều khiển tối ưu rời rạc cho phương trình sai phân thường . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.1.1 Phương trình Euler - Lagrange rời rạc . . . . . . . . 7 1.1.2 Nguyên lý cực đại cho bài toán điều khiển tối ưu . . 9 1.2 Phương trình sai phân tuyến tính ẩn chỉ số 1 . . . . . . . . 11 1.2.1 Khái niệm và các tính chất . . . . . . . . . . . . . . 12 1.2.2 Bài toán Cauchy cho phương trình sai phân tuyến tính chỉ số 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.2.3 Phương trình dưới liên hợp . . . . . . . . . . . . . . 232 Bài toán điều khiển tối ưu cho phương trình sai phân tuyến tính suy biến 36 2.1 Bài toán điều khiển tối ưu cho hệ tuyến tính dừng suy biến 36 2.1.1 Giới thiệu về bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2.1.2 Phương trình Hamilton cho bài toán điều khiển tối ưu rời rạc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 2 3 2.1.3 Nghiệm của bài toán điều khiển tối ưu . . . . . . . . 40 2.2 Bài toán điều khiển tối ưu cho phương trình sai phân chỉ số 1 55 2.2.1 Giới thiệu bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 2.2.2 Phương trình Hamilton và bài toán biên . . . . . . . 56 2.2.3 Điều kiện đủ của tối ưu . . . . . . . . . . . . . . . . 57 2.2.4 Điều kiện cần và đủ để hệ Pontryagin có chỉ số 1 . . 59 2.2.5 Nghiệm của bài toán điều khiển tối ưu . . . . . . . 603 Bài toán điều khiển tối ưu trong mô hình kinh tế 71 3.1 Mô hình mô tả bởi phương trình sai phân thường . . . . . . 71 3.1.1 Cấu trúc của hệ thống sản xuất . . . . . . . . . . . 72 3.1.2 Điều kiện đạt tới sự cân bằng . . . . . . . . . . . . . 74 3.2 Mô hình mô tả bởi phương trình sai phân suy biến . . . . . 75KẾT LUẬN 79TÀI LIỆU THAM KHẢO 80 4 DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU• dimW : số chiều của không gian vectơ W .• kerA: không gian nhân của ma trận A.• imA: không gian ảnh của ma trận A.• rankA: hạng của ma trận A.• span({xi }ni=1 ): không gian con sinh bởi hệ vectơ x1 , x2 , . . . , xn .• W1 ⊕ W2 : tổng trực tiếp của hai không gian W1 , W2 .• W1 ∩ W2 : giao của hai không gian W1 , W2 . n P• Ai : tổng của các ma trận A1 , A2 , . . . , An . i=1 †• A : nghịch đảo suy rộng Moore - Penrose của ma trận A.• diag(A1 , A2 ): ma trận đường chéo khối có các thành phần A1 , A2 nằm trên đường chéo. MỞ ĐẦU Do nhu cầu của thực tiễn, việc nghiên cứu phương trình vi phân đại số vàphương trình sai phân ẩn được nhiều nhà nghiên cứu toán học trong nướccũng như ở nước ngoài quan tâm nghiên cứu. Nhiều bài toán thực tế (hệthống điện, mô hình dân số, mô hình kinh tế, ...) được mô tả bởi phươngtrình sai phân ẩn. Mặt khác phương trình sai phân ẩn là kết quả của việcrời rạc hóa phương trình vi phân đại số, phương trình đạo hàm riêng đạisố. Chẳng hạn, dùng phương pháp Euler hiển áp dụng cho phương trìnhvi phân đại số chỉ số 1 thì ta nhận được phương trình sai phân tuyến tínhẩn chỉ số 1 [3]. Xuất phát từ những nghiên cứu của các tác giả D. J. Bender and A. J.Laub [5] về bài toán điều khiển tối ưu dạng toàn phương cho hệ động lựcmô tả bởi phương trình sai phân ẩn hệ số hằng, chúng tôi đã đưa ra đượcc ...